A teoria de primeira ordem de uma estrutura finita limitou a classificação dos quantificadores?

Seja qualquer estrutura finita. Faz a sua primeira teoria ordem têm classificação quantificador limitada, no sentido de que há um de tal modo que para todos com existe uma com e ? $\mathfrak{A}$ $\mathfrak{T} := \mathfrak{TH}(\mathfrak{A})$ $q\in\mathbb{N}$ $\varphi\in\mathfrak{T}$ $qr(\varphi) > q$ $\varphi'\in\mathfrak{T}$ $qr(\varphi')\leq q$ $\varphi'\equiv\varphi$

co.combinatorics lo.logic relational-structures

— D. Rusin
fonte

Isso não é uma pergunta para o Mathoverflow e não para a teoria da CS?

— Andrej Bauer

@Andrej, a teoria do modelo finito e a complexidade descritiva também são consideradas parte do TCS.

— Kaveh

Excelente, é como Bob Harper disse uma vez: a matemática é um caso especial de ciência da computação.

— Andrej Bauer

A ciência da computação também é um caso especial de matemática, e ambos também são casos especiais de lógica e vice-versa.

— fhyve

Respostas:

A teoria de qualquer estrutura finita é modelo completo. De fato, é fácil ver que qualquer fórmula é equivalente a uma fórmula existencial com um quantificador por cada elemento da estrutura, após o qual todos os quantificadores da fórmula original podem ser simulados por conjunções e disjunções. Em particular, o número de quantificadores (daí a classificação dos quantificadores) é limitado pelo tamanho da estrutura.

— Emil Jeřábek 3.0
fonte

Na verdade, é necessário um quantificador universal adicional, que permita expressar que não há outros elementos. Em todas as respostas, há uma suposição que deve ser explicitada: a presença de fequalidade, ou seja, que x = y é uma fórmula atômica permitida.

— Thomas S

Nenhum quantificador adicional é necessário. Lembre-se de que não estamos tentando axiomatizar a teoria da estrutura, mas encontrar uma fórmula equivalente a um dado módulo da teoria. E a presença da igualdade é um padrão universal para a lógica clássica de primeira ordem. Sua ausência precisaria ser declarada.

— Emil Jeřábek 3,0

Ah Você está certo. "Teoria do módulo". Em relação à igualdade: como estamos tentando explicar coisas fáceis para pessoas de fora da Logic, não faz mal tornar explícito o quadro. Mais uma observação: substituir quantificadores por conjunções e disjunções é perfeitamente bom. No entanto, existem alternativas: como uma fórmula com, digamos, m variáveis livres define uma relação m-ária de A, a nova fórmula pode, após adivinhar todos os elementos e verificar qual é qual (módulo automorfismos), também "enumerar" explicitamente todos tuplas, para as quais a fórmula antiga produz "verdadeiro".

— Thomas S

Para tornar o que Emil disse um pouco mais concreto: considere a fórmula que expressa a existência de k objetos distintos. Isso mostra que precisamos de um número ilimitado de quantificadores.

Agora você tem uma fórmula com quantificadores q e seu modelo possui k objetos. Você pode expressar a fórmula declarando que k existem objetos distintos e a relação entre eles pode ser expressa como um CNF.

— Kaveh
fonte