Para quaisquer dois gráficos não isomórficos

Eu quero ser muito específico. Alguém sabe de uma reprovação ou de uma prova da seguinte proposição:

$\exists p \in \mathbb{Z}[x], n, k, C \in \mathbb{N},$

$\forall G, H \in STRUC[\Sigma_{graph}] (min(|G|, |H|) = n, G \not\simeq H),$

$\exists \varphi \in \mathcal{L}(\Sigma_{graph}),$

$|\varphi| \leq p(n) \wedge qd(\varphi) \leq Clog(n)^k \wedge G \vDash \varphi \wedge H \nvDash \varphi.$

Intuitivamente, isso deve ser verdade se todos os gráficos não isomórficos puderem ser distinguidos usando as instruções " $Clog(n)^k$ local", e eu imagino que isso seja falso. É claro que qualquer gráfico pode ser distinguido usando a profundidade do quantificador polinomial, pois você pode simplesmente especificar o isomorfismo do módulo de gráfico:

$\varphi = \exists x_1 \exists x_2 \exists x_3 ... \exists x_n (\forall x (\bigvee_{i \in V_G} x = x_i) \wedge (\bigwedge_{(i, j) \in E_G} E(x_i, x_j))) \wedge (\bigwedge_{(i, j) \notin E_G} \neg E(x_i, x_j))) \wedge (\bigwedge_{(i, j) \in V_G^2 \mid i \neq j}x_i \neq x_j).$

Edit: Então parece que a intuição de localidade que tive é falsa. Uma fórmula da profundidade do quantificador $k$ tem a localidade de Gaifman delimitada por $O(3^k)$ , o que significa que uma fórmula de profundidade do log é basicamente global. Por esse motivo, tenho um pressentimento de que a proposição se tornará verdadeira, o que seria muito mais difícil de provar na minha opinião.

— Samuel Schlesinger
fonte

E quanto ao caminho e aos dois caminhos desconectados, cada um de comprimento

\frac{n}{2}

$\frac{n}{2}$

— Samuel Schlesinger #

O caminho tem apenas dois nós de grau , dois caminhos têm quatro. Ou seja, eles podem ser distinguidos por uma fórmula de tamanho constante. Você pode ter melhor sorte com um círculo versus dois círculos, mas acho que eles podem ser distinguidos por uma fórmula do quantificador de classificação .

1

$1$

O (\log n)

$O(\log n)$

— Emil Jeřábek 3.0 26/10

Árvores altas podem funcionar para uma refutação, se diferirem perto das folhas.

— András Salamon

@ EmilJeřábek isso é verdade sem igualdade?

— Samuel Schlesinger

@StellaBiderman A verdade das fórmulas sem igualdade é preservada pelos homomorfismos refletivos (ou seja, preservando as relações de ambos os modos). No caso de gráficos, por exemplo, quaisquer dois gráficos sem arestas atendem às mesmas frases. De maneira mais geral, pode-se pegar qualquer gráfico e explodir qualquer vértice em um conjunto independente.

— Emil Jeřábek 3.0 1/11

Agradeço ao meu colega Maxim Zhukovskii por sugerir esta resposta.

Acontece que a resposta é negativa e o contra-exemplo é bastante simples. Basta pegar e por e e para . (Aqui é uma classe e é um conjunto de vértices isolados). Considerando o jogo de Ehrenfeucht, pode-se mostrar que no primeiro caso a profundidade mínima possível é e no segundo caso é . $G=K_m\sqcup \overline{K_m}$ $H=K_{m+1}\sqcup \overline{K_{m-1}}$ $n=2m$ $G=K_m\sqcup \overline{K_{m+1}}$ $H=K_{m+1}\sqcup \overline{K_m}$ $n=2m+1$ $K_s$ $s$ $\overline{K_s}$ $s$ $m$ $m+1$

Foi mostrado no artigo "A definibilidade de primeira ordem dos gráficos: limites superiores para a profundidade do quantificador", de Oleg Pikhurko, Helmut Veith e Oleg Verbitsky, que esse limite é quase rígido e quaisquer dois gráficos vertex são distinguíveis por uma fórmula de profundidade . $n$ $\frac{n+3}{2}$

— Daniil Musatov
fonte