No capítulo 1 e no apêndice A do livro Hott , são apresentadas várias famílias de tipos primitivos (tipos de universo, tipos de funções dependentes, tipos de pares dependentes, tipos de coprodutos, tipo vazio, tipo de unidade, tipo de número natural e tipos de identidade) para formar a base para a teoria do tipo de homotopia.
No entanto, parece que determinados tipos de universo e tipos de funções dependentes podem ser construídos com todos esses outros tipos "primitivos". Por exemplo, o tipo Empty poderia ser definido como
ΠT:U.T
Suponho que os outros tipos também possam ser construídos de maneira semelhante à forma como estão no CC puro (ou seja, apenas derivar o tipo da parte indutiva da definição).
Muitos desses tipos são explicitamente redundantes pelos tipos Indutivo / W que são introduzidos nos capítulos 5 e 6. Mas os tipos Indutivo / W parecem ser uma parte opcional da teoria, pois existem questões em aberto sobre como eles interagem com o HoTT (em menos no momento em que o livro saiu).
Portanto, estou muito confuso sobre o motivo pelo qual esses tipos adicionais são apresentados como primitivos. Minha intuição é que uma teoria fundamental deve ser tão mínima quanto possível, e redefinir um tipo vazio redundante como um primitivo na teoria parece muito arbitrário.
Essa escolha foi feita
- por algumas razões metateóricas que eu desconheço?
- por razões históricas, fazer com que a teoria do tipo parecesse teorias do tipo do passado (que não estavam necessariamente tentando ser fundamentais)?
- para "usabilidade" de interfaces de computador?
- por alguma vantagem na pesquisa de provas que eu desconheço?
Semelhante a: Especificação mínima da teoria dos tipos de Martin-Löf , /cs/82810/reducing-products-in-hott-to-church-scott-encodings/82891#82891