Qual é a complexidade desse problema gráfico?

Dado um gráfico simples e não direcionado , encontre um subconjunto de vértices, de modo que $G$ $A\neq \emptyset$

para qualquer vértice pelo menos metade dos vizinhos de também estão em , e $x\in A$ $x$ $A$
o tamanho de é mínimo. $A$

Ou seja, estamos procurando um cluster, no qual pelo menos metade da vizinhança de cada vértice interno permaneça interna. A mera existência de um cluster desse tipo é óbvia, pois todo o conjunto de vértices sempre possui a propriedade 1. Mas quão difícil é encontrar o menor (não vazio) cluster desse tipo? $V(G)$

Existe um nome padrão para esse problema? O que se sabe sobre sua complexidade?

graph-theory graph-algorithms np-hardness

— Andras Farago
fonte

Parece uma variante do problema de Partição Satisfatória . Não sei se sua variante é conhecida e foi provada ser NPC; mas, provavelmente, uma redução de k-clique deve funcionar: ligação cada nó

do gráfico original para

nodos de um

"clique externo" de tamanho

(cada nó tem a sua pequena associação externo). Então você pode encontrar um conjunto não trivial

de tamanho

se e somente se a

v_{i}

$v_i$

k + 1

$k+1$

C_{i}

$C_i$

2 (k + 1)

$2(k+1)$

A

$A$

k

$k$

k

$k$ -clique existe no gráfico original (você deve escolher pelo menos um nó, mas deve evitar qualquer clique externo). Mas é apenas uma ideia; se tiver tempo suficiente, tentarei ver se a redução está correta.

— Marzio De Biasi

@MarzioDeBiasi Obrigado, depois de algumas pesquisas, descobri que o Problema de Partição Satisfatória está realmente relacionado. No entanto, em todas as variantes que pude encontrar, elas procuram por uma partição, e não por um único conjunto. Não está claro como eles estão relacionados. Na sua redução, a menos que eu tenha entendido algo errado , uma

-ique do gráfico original não satisfaz a definição, já que cada nó terá

vizinhos internos, mas pelo menos

vizinhos externos, devido à adição externa adicionada panelinhas.

k

$k$

k - 1

$k-1$

k + 1

$k+1$

— Andras Farago

Eu acho que este problema é conhecido como “aliança defensiva”

— Daniello

@daniello: ótimo, procurei na pesquisa IG Yero, JA Rodriguez-Velazquez, "Alianças defensivas em gráficos: uma pesquisa", 2013, mas não encontrei a palavra "metade"; quando tiver tempo suficiente, lerei com atenção; é provável que o problema do OP já seja conhecido!

— Marzio De Biasi

Parece ser formulado como "cada vértice tem pelo menos tantos vizinhos dentro como fora", que é o mesmo que na pergunta-se ao arredondamento, e, possivelmente incluindo / não incluindo o próprio vértice na contagem

— Daniello

Esta é uma redução do Clique para o seu problema.

Começamos com um exemplo de Click: um gráfico que e um número inteiro , deixar . $G$ $k$ $V = \{ v_1, v_2,...,v_n\}$

Clique permanece NPC mesmo sob a restrição de que (esboço de prova: se em seguida, adicione um onde $max(deg(v_i)) \leq 2(k-1)$ $max(deg(v_i) > 2(k-1)$ $K_t$ e conecte-o a todos os nós de e solicite um clique do tamanho no novo gráfico). $t = 2(k-1) - max(deg(v_i))$ $G$ $k' = k + t$

Portanto, assumimos que em , . Para cada nó para o qual é criada uma "externo" clique de tamanho (cada nó de $G$ $max(deg(v_i)) \leq 2(k-1)$ $v_i$ $deg(v_i) < 2(k-1)$ $C_i$ $2(k+1)+1$ clique tem pelo menos vizinhos). $C_i$ $2(k+1)$

Se é o grau de , conectamos a nós de . $deg(v_i)$ $v_i$ $v_i$ $2(k-1) - deg(v_i)$ $C_i$

No resultante , cada possui grau ; so porque pelo menos um vértice deve ser selecionado. $G'$ $v_i$ $2(k-1)$ $|A| \geq k$

É claro que, se um dos vértices de é incluído em , em seguida, pelo menos nós também deve ser inserido na mesma. Note-se que, se um nó original tem então pelo menos um nó do ligadas deve ser incluído, levando a . $C_i$ $A$ $2(k+1)/2 = k+1$ $deg(v_i) < k-1$ $C_i$ $|A| > k$

Para que possamos construir um conjunto de tamanho mínimo se e somente se contiver um clique do tamanho . $A$ $|A| = k$ $G$ $k$

Um exemplo da redução em que perguntamos se o gráfico representado pelos nós amarelos e arestas em negrito contém uma clique do tamanho (um triângulo). $G$ $k = 3$

Os nós azuis (agrupados para melhor legibilidade) são , as bordas vermelhas são os elos entre os nós de com . $K_9$ $G$ $deg(v_i) < 2(k-1)$

— Marzio De Biasi
fonte

@WillardZhan: como todo vértice de

tem grau

por construção, portanto, se

contém um vértice, ele deve conter pelo menos

vizinhos (e o mesmo aplica-se a todos os vértices de

), então

. O "tamanho mínimo"

pode ser alcançado apenas se

for um clique do tamanho

G^{'}

$G'$

\geq 2 (k - 1)

$\geq 2(k-1)$

A

$A$

2 (k - 1) / 2 = k - 1

$2(k-1)/2 = k-1$

A

$A$

| A | \geq k

$|A| \geq k$

k

$k$

A

$A$

k

$k$

— Marzio De Biasi

@WillardZhan: Adicionei outra condição ao problema de camarilha inicial (mas ele deve permanecer como NPC) ... ainda estou verificando (não estou totalmente convencido de que está correto).

— Marzio De Biasi

Sim, agora funciona perfeitamente (embora deva ser

na expressão de

). Talvez eu deva excluir meus comentários?

k^{'}

$k'$

t

$t$

— Willard Zhan

@WillardZhan: Acho que está correto, porque nesse parágrafo estou me referindo à redução de Clique [instância

] para Clique + restrição

[instância

é o número de nós (clique) a serem adicionados ao G para obter a nova instância do Clique que stastisfies a restrição.

(G, k)

$(G,k)$

m a x (d e g (v_{i})) \leq 2 (k - 1)

$max(deg(v_i)) \leq 2(k-1)$

(G^{'}, k^{'})

$(G',k')$

t

$t$

— Marzio De Biasi