Complexidade de calcular os caminhos mais curtos do avião com obstáculos poligonais

Suponha que recebamos vários polígonos simples disjuntos no plano e dois pontos e fora de cada polígono. O problema do caminho mais curto euclidiano é calcular o caminho mais curto euclidiano de a que não cruza o interior de nenhum polígono. Para concretude, vamos assumir que as coordenadas de e , e as coordenadas de todos os vértices poligonais, são números inteiros.t s t s $s$$t$$s$$t$$s$$t$

Esse problema pode ser resolvido em tempo polinomial?

A maioria dos geômetros computacionais diria imediatamente que sim, é claro: John Hershberger e Subhash Suri descreveram um algoritmo que calcula os caminhos mais curtos euclidianos no tempo , e esse tempo limite é ideal no modelo de árvore computacional algébrica. Infelizmente, o algoritmo de Hershberger e Suri (e quase todos os algoritmos relacionados antes e depois) parece exigir aritmética real exata no forte sentido a seguir.$O(n\log n)$

Chame um caminho poligonal válido se todos os seus vértices internos forem vértices de obstáculos; todo caminho mais curto euclidiano é válido. O comprimento de qualquer caminho válido é a soma das raízes quadradas dos números inteiros. Assim, comparar os comprimentos de dois caminhos válidos requer a comparação de duas somas de raízes quadradas, o que não sabemos fazer em tempo polinomial .

Além disso, parece completamente plausível que uma instância arbitrária do problema da soma das raízes quadradas possa ser reduzida a um problema euclidiano equivalente de caminho mais curto.

Então: existe um algoritmo de tempo polinomial para calcular os caminhos mais curtos euclidianos? Ou é o problema NP-difícil? Ou a soma das raízes quadradas é difícil ? Ou alguma outra coisa?

Algumas notas:

• Os caminhos mais curtos dentro (ou fora) de um polígono podem ser calculados em tempo sem problemas numéricos estranhos usando o algoritmo de funil padrão, pelo menos se for dada uma triangulação do polígono.$O(n)$

• Na prática, a aritmética de ponto flutuante é suficiente para calcular os caminhos mais curtos até a precisão do ponto flutuante. Estou interessado apenas na complexidade do problema exato .

• John Canny e John Reif provaram que o problema correspondente no espaço 3 é NP-difícil (moralmente porque pode haver um número exponencial de caminhos mais curtos). Joonsoo Choi, Jürgen Sellen e Chee-Keng Yap descreveram um esquema de aproximação de tempo polinomial.

• Simon Kahan e Jack Snoeyink consideraram questões semelhantes para o problema relacionado de caminhos de link mínimo em um polígono simples.

Talvez eu sinta falta de alguma coisa, mas se considerarmos o caso "fácil", onde todos os obstáculos são pontos, temos o problema de calcular o caminho mais curto entre dois vértices em um gráfico planar, que, se não estiver errado, é conhecido. como somas-de-raízes-quadradas-duras.

PS. Queria adicionar um comentário e não uma resposta, mas não consigo encontrar como. Me desculpe por isso. Os administradores podem me ajudar com isso.