Qual é a largura do caminho da grade 3D (malha ou treliça) com o comprimento da linha k?

Fiz essa pergunta há algumas semanas no mathoverflow , mas não obtive resposta.

Aqui, por grade 3D de comprimento lateral , refiro-me ao gráfico com e , ou seja, os nós são colocados em coordenadas inteiras tridimensionais entre 1 e , e um nó é conectado ao at mais 6 outros nós que diferem precisamente em uma coordenada por uma. $k$ $G=(V,E)$ $V= \{1,\ldots,k\}^3$ $E=\{( (a,b,c) ,(x,y,z) ) \mid |a-x|+|b-y|+|c-z|=1 \}$ $k$

Qual é o nome deste gráfico? Usarei a grade 3D, mas talvez a malha 3D ou a treliça 3D sejam o que outras pessoas estão acostumadas.

Qual é a largura da árvore ou caminho deste gráfico? Isso já está publicado em algum lugar?

Eu já sei que , ou seja, é realmente menor que . Para mim, isso sugere que os argumentos padrão que mostram que a grade 2D tem largura de árvore e largura de caminho não serão facilmente generalizados. $tw(G) = (3/4) k^2 + O(k)$ $k^2$ $k\times k$ $k$

Para ver isso, consideramos uma decomposição de caminho que "varre" a grade usando principalmente conjuntos de nós no formato . Observe , sendo o maior conjunto desse tipo. Os conjuntos entre e são criados varrendo com uma linha e precisam de nós adicionais para serem separadores. Mais precisamente, use os conjuntos como um caminho de decomposição . $S_c= \{(x,y,z)\mid x+y+z = c\}$ $|S_c| \leq (3/4) k^2 + O(k)$ $S_{3/2 k}$ $S_c$ $S_{c+1}$ $O(k)$ $S_{c,d} = \{(x,y,z)\mid (x+y+z = c \wedge x \leq d ) \vee (x+y+z = c \wedge x \geq d ) \}$ $G$

Eu também tenho uma idéia para uma prova que mostre , mas isso ainda não foi concluído. $tw(G) = \Omega(k^2)$

— Riko Jacob
fonte

para

. Estou esquecendo de algo?

| S_{c} | = Ω (k^{2})

$|S_c| = \Omega(k^2)$

c = ⌊ k / 2 ⌋

$c=\lfloor k/2 \rfloor$

— Sariel Har-Peled

Certo. Mas

é usado apenas no limite superior. O que realmente me importa é um limite inferior.

S_{c}

$S_c$

— precisa saber é o seguinte

Você pode estar interessado neste documento: springerlink.com/content/3nmjlc1g5emx9vpk . Se você pode calcular o "número da fila" de seu gráfico, então você vai ser dado um limite inferior no seu caminho de largura usando Teorema 1 que afirma que

para qualquer gráfico

q n (G) \leq p w (G)

$\mathsf{qn}(G) \leq \mathsf{pw}(G)$

G

$G$

— Mathieu Chapelle

Oh Entendo. Está significava

(3 / 4) k^{2}

$(3/4)k^2$

— Sariel Har-Peled

@ Sariel: Eu editei a pergunta para evitar a mesma confusão.

— Tsuyoshi Ito

Respostas:

A largura do caminho de pode ser determinada como um corolário de alguns resultados conhecidos. FitzGerald [2] mostrou que a largura de banda de é $P^3_k$ $P^3_k$ . Harper [3] mostrou uma condição tal que, se um gráfico satisfaz a condição, sua largura de banda e largura de banda são as mesmas. Moghadam [4,5] e Bollobás e Leader [1] mostraram independentemente que qualquer grade multidimensional satisfaz a condição de Harper. Esses resultados sugerem que a largura do caminho de também é $\lfloor \frac{3}{4} k^{2} + \frac{1}{2} k \rfloor$ $P^3_k$ . $\lfloor \frac{3}{4} k^{2} + \frac{1}{2}k \rfloor$

Em nosso artigo mencionado por Hsien-Chih, generalizamos o resultado de FitzGerald como Yoshio explicou. Eu acredito que a largura de árvore de não é conhecida. $P^3_k$

FYI: Acabei de enviar uma versão em inglês do nosso artigo para o arXiv.

B. Bollobás e I. Leader, Compressões e desigualdades isoperimétricas, J. Combin. Teoria Ser. A 56 (1991) 47-62.
CH FitzGerald, indexação ideal dos vértices dos gráficos, matemática. Comp. 28 (1974), 825-831.
LH Harper, numerações ótimas e problemas isoperimétricos em gráficos, J. Combin. Teoria 1 (1966) 385-393.
HS Moghadam, operadores de compressão e uma solução para o problema de largura de banda do produto de caminhos, Ph.D. tese, Universidade da Califórnia, Riverside (1983). $n$
HS Moghadam, Largura de banda do produto de caminhos, Congr. Numer. 173 (2005) 3-15. $n$

— Yota Otachi
fonte

Obrigado por gentilmente partilha o seu novo resultado também, bem-vindo ao TCS SE :) (e papel!)

— Hsien-Chih Chang張顯之

@ Hsien-Chih: Você me fez decidir compartilhar nosso resultado :-) Obrigado. De fato, também sou novo no arXiv.

— Yota Otachi

A largura de caminho das grades 3D foi estudada por Ryohei Suda, Yota Otachi e Koichi Yamazaki no artigo Largura de caminho de grades tridimensionais , IEICE Tech. Relatório, 2009.

Alega-se no resumo do artigo que

Neste artigo, apresentamos a largura de caminho de grades tridimensionais em forma fechada, determinando sua largura de limite de vértice.

No entanto, o limite preciso não é indicado no resumo e, atualmente, não consigo acessar o artigo completo. Talvez você possa entrar em contato com os autores em particular e postar uma resposta a esta pergunta sozinho, se os autores estiverem dispostos a compartilhar o resultado.

— Hsien-Chih Chang 張顯之
fonte

Observe que o artigo está escrito em japonês.

— Tsuyoshi Ito

@Tsuyoshi: Sim, nós podemos precisar da sua ajuda :)

— Hsien-Chih Chang張顯之

P_{ℓ} \times P_{m} \times P_{n}

$P_{\ell}\times P_{m}\times P_{n}$

ℓ m

$\ell m$

ℓ + m \leq n + 2

$\ell + m \leq n + 2$

ℓ m - ⌈ (\frac{ℓ + m - n - 1}{2})^{2} ⌉

$\ell m - \lceil (\frac{\ell+m-n-1}{2})^2 \rceil$

P_{k}

$P_k$

k

$k$

ℓ \leq m \leq n

$\ell \leq m \leq n$

p w (P_{k}^{3}) = \frac{3}{4} k^{2} + O (k)

$\mathsf{pw}(P^3_k) = \frac{3}{4}k^2 + O(k)$

Obrigado. Parece que não preciso me sentir mal por não encontrar essa referência. Estou curioso pelos detalhes.

— Riko Jacob