Poderia ser fácil calcular o número cromático quando a coloração é difícil para alguma classe gráfica?

Pergunta semelhante foi feita antes, mas houve um erro, por isso foi deixada sem resposta Classe Graph com número cromático fácil, mas coloração NP-difícil

Existe algum conjunto infinito de gráficos , como: $C$

Existe um algoritmo polinomial que reconhece para cada gráfico se pertence a $G$ $G$ $C$
Existe um algoritmo de tempo polinomial que calcula o número cromático $\chi(g)$ para cada $g \in C$
A humanidade não conhece um algoritmo de tempo polinomial para calcular a coloração adequada para $C$ , ou (o que é melhor), há uma prova de que esse algoritmo (sob suposições razoáveis) não existe.

graph-theory graph-algorithms

— Janczar Knurek
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Aqui também está uma questão um pouco relacionada; algumas das respostas pode dar algumas idéias: cstheory.stackexchange.com/questions/1848/...

— Jukka Suomela

Sim, parte dos gráficos livres do P_5 é interessante e útil para mim, mas não é exatamente do que estou falando.

— Janczar Knurek

Talvez uma pergunta mais simples (e mais fraca): você conhece algum resultado que calcule um número cromático de uma maneira puramente existencial? Ou seja, o algoritmo para computador não gera explicitamente (ou implicitamente) uma coloração real? Eu diria existência probabilística (existência whp) não está no âmbito desta questão

χ (g)

$\chi(g)$

— JimN

Sim. Como 3-COLORING é FNP-complete, para qualquer problema no FNP, podemos construir um gráfico G que é de 3 cores se e somente se o problema tiver uma solução. Portanto, você pode escolher o seu problema favorito em TFNP \ FP (se não estiver vazio!), Como encontrar um fator de um número composto ou um segundo ciclo hamiltoniano em um gráfico tridimensional e convertê-lo em um gráfico.

Mais detalhadamente com o exemplo de encontrar um fator. Vamos fixar um algoritmo que converte um número composto em um gráfico de de tal forma que a partir de pode descodificar o valor de . A composição de é necessária para estar em nossa classe. Além disso, qualquer adequada -coloring de pode ser convertido em um divisor adequada de . Isso pode ser feito, por exemplo, escrevendo um CNF que descreva se um dado codificado em binário como divide um fixo (que também possui $N$ $G(N)$ $G(N)$ $N$ $N$ $G(N)$ $3$ $G(N)$ $d$ $N$ $d$ $x_1\ldots x_{n}$ $N$ $n$ dígitos em binário, mas essas não são variáveis). Da satisfação de um CNF, há uma redução padrão para 3-COLORABILITY, de modo que você pode converter facilmente uma cor apropriada volta em uma tarefa que satisfaça . Assim, resolvendo o problema de coloração, você encontraria um divisor . Além disso, adicionando alguns gadgets extras simples, você também pode decidir se um gráfico tem esse formato ou não. Nossa classe é formada por gráficos criados dessa maneira, que são todos com cores. $3$ $x_i$ $d$ $3$

— domotorp
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Para ser sincero, eu não entendo o seu ponto ... Você poderia dizer isso de novo, mas com um pouco mais de formalismo? Quero dizer, por exemplo, eu não vejo como condição 1. detém em sua resposta ...

— Janczar Knurek

Eu atualizei minha resposta.

— domotorp 6/09/19

A propriedade que você está usando é, essencialmente, a completude do FNP da variante de problema de pesquisa de 3-COLORING. Isso não decorre apenas da completude NP de 3-COLORING; portanto, a primeira frase é enganosa.

— Emil Jeřábek

Ok, mas ainda existe um problema para decidir se um gráfico é desta forma. Entendo que existem algumas ferramentas padrão, mas presumo que você não tenha verificado, mas você acha que elas podem funcionar? De qualquer forma, obrigado por uma resposta.

— Janczar Knurek

@Emil Oops, pensei que se seguisse! Obrigado pela correção.

— Domotorp # 7/18