Uma classe especial de idiomas: idiomas "circulares". Isso é conhecido?

Defina a seguinte classe de idiomas "circulares" sobre um alfabeto finito Sigma. Na verdade, o nome já existe para denotar uma coisa diferente que parece, usada no campo da computação de DNA. AFAICT, essa é uma classe de idiomas diferente.

Uma linguagem L é circular se, para todas as palavras $w$ em $\Sigma^*$ , temos:

$w$ pertence a L se e somente se para todos os números inteiros$k > 0$ ,$w^k$ pertence a L.

Essa classe de idiomas é conhecida? Estou interessado nas linguagens circulares, que também são regulares e, em particular, em:

• um nome para eles, se eles já são conhecidos

• a decidibilidade do problema, dado um autômato (em particular: um DFA), se o idioma aceito obedece à definição acima

Na primeira parte, mostramos um algoritmo exponencial para decidir a circularidade. Na segunda parte, mostramos que esse é um problema coNP. Na terceira parte, mostramos que toda linguagem circular é uma união de linguagens da forma r + (aqui r pode ser o regexp vazio); a união não é necessariamente disjunta. Na quarta parte, exibimos uma linguagem circular que não pode ser escrita como uma soma disjunta ∑ r + i .$r^+$$r$$\sum r_i^+$

Editar: Incorporadas algumas correções após os comentários de Marcos. Em particular, minhas afirmações anteriores de que a circularidade é coNP-completa ou NP-difícil são corrigidas.

Editar: Corrigida a forma normal de ∑ r ∗ i a ∑ r + i . Exibiu uma linguagem "inerentemente ambígua".$\sum r_i^*$$\sum r_i^+$

Continuando o comentário de Peter Taylor, veja como decidir (extremamente ineficientemente) se um idioma é circular, considerando seu DFA. Construa um novo DFA cujos estados sejam n- pares dos estados antigos. Este novo DFA executa n cópias do DFA antigo em paralelo.$n$$n$

Se o idioma não for circular, haverá uma palavra w, de modo que, se o passarmos pelo DFA repetidamente, começando com o estado inicial s 0 , obteremos os estados s 1 , … , s n de modo que s 1 esteja aceitando apenas um dos outros não está aceitando (se todos estão aceitando, então a sequência s 0 , … , s n deve alternar para que w ∗ esteja sempre no idioma). Em outras palavras, temos um caminho de s 0 , … , s $w$$s_0$$s_1,\ldots,s_n$$s_1$$s_0,\ldots,s_n$$w^*$- 1 a s 1 ,…, s n em que s 1 está aceitando, mas um dos outros não está aceitando. Por outro lado, se o idioma é circular, isso não pode acontecer.$s_0,\ldots,s_{n-1}$$s_1,\ldots,s_n$$s_1$

Portanto, reduzimos o problema a um simples teste de acessibilidade direcionada (basta verificar todos os n- tufos possíveis "ruins" ).$n$

O problema da circularidade é difícil de coNP. Suponha que recebamos uma instância 3SAT com n variáveis → x e m cláusulas C 1 , ... , C m . Podemos supor que n = m (adicione variáveis ​​fictícias) e que n seja primo (caso contrário, encontre um primo entre n e 2 n usando o teste de primalidade da AKS e adicione variáveis ​​e cláusulas fictícias).$n$$\vec{x}$$m$$C_1,\ldots,C_m$$n = m$$n$$n$$2n$

Considere o seguinte idioma: "a entrada não possui a forma → x 1 ⋯ → x n onde → x i é uma atribuição satisfatória para C i ". É fácil construir um O ( n 2 ) DFA para esse idioma. Se o idioma não for circular, haverá uma palavra w no idioma, cujo poder não está no idioma. Como as únicas palavras que não estão no idioma têm comprimento n 2 , w deve ter comprimento 1 ou n . Se for de comprimento$\vec{x}_1 \cdots \vec{x}_n$$\vec{x}_i$$C_i$$O(n^2)$$w$$n^2$$w$$1$$n$1 , considere w n vez (ele ainda está no idioma), de modo que w é na linguagem e w n não está no idioma. O fato de que w n não está nos meios de linguagem que w é uma atribuição satisfatória.$1$$w^n$$w$$w^n$$w^n$$w$

Por outro lado, qualquer atribuição satisfazer traduz em uma palavra comprovando a não circularidade da língua: a atribuição satisfazer w pertence à língua, mas w n não. Portanto, o idioma é circular se a instância 3SAT for insatisfatória.$w$$w^n$

Nesta parte, discutimos uma forma normal para linguagens circulares. Considere algumas DFA para uma linguagem circular L . Uma sequência C = C 0 , ... é real se C 0 = s (o estado inicial), todos os outros estados estão aceitando, e C i = C j implica C i + 1 = C j + 1 . Assim, toda sequência real é eventualmente periódica, e há apenas muitas seqüências reais finitas (já que o DFA possui muitos estados finitos).$L$$C = C_0,\ldots$$C_0 = s$$C_i = C_j$$C_{i+1} = C_{j+1}$

Dizemos que uma palavra se comporta de acordo com $C$ se a palavra leva o DFA de estado c i para o estado c i + 1 , para todo i . O conjunto de todas essas palavras E ( C ) é regular (o argumento é semelhante à primeira parte desta resposta). Note-se que E ( C ) é um subconjunto de L .$c_i$$c_{i+1}$$i$$E(C)$$E(C)$$L$

Dada uma sequência real C , defina C k como a sequência C k ( t ) = C ( k t ) . A sequência C k também é verdadeiro. Desde há apenas finitamente muitos diferentes seqüências C k , a linguagem D ( C ) , que é a união de todos E ( C k ) também é regular.$C$$C^k$$C^k(t) = C(kt)$$C^k$$C^k$$D(C)$$E(C^k)$

Afirmamos que D ( C ) tem a propriedade de que se x , y ∈ D ( C ) então x y ∈ D ( C ) . De fato, suponha que x ∈ C k e y ∈ C l . Então x y ∈ C k + l . Assim, D ( C ) = D ( C ) + pode ser escrito na forma $D(C)$$x,y \in D(C)$$xy \in D(C)$$x \in C^k$$y \in C^l$$xy \in C^{k+l}$$D(C) = D(C)^+$+ para alguma expressão regular r .$r^+$$r$

Cada palavra w nos corresponde língua para alguma seqüência verdadeira C , ou seja, não existe uma verdadeira seqüência C que w se comporta de acordo com. Assim G é a união de D ( C ) sobre toda a sequência verdadeira C . Portanto, toda linguagem circular tem uma representação da forma ∑ r + i . Por outro lado, todo idioma é circular (trivialmente).$w$$C$$C$$w$$L$$D(C)$$C$$\sum r_i^+$

Considere a linguagem circular L de todas as palavras sobre a , b que contenham um número par ou a 's ou um número par de b ' s (ou ambos). Mostramos que não pode ser escrito como uma soma disjunta ∑ r + i ; por "disjunção" queremos dizer que r + i ∩ r + j = ∅ .$L$$a,b$$a$$b$$\sum r_i^+$$r_i^+ \cap r_j^+ = \varnothing$

Let $N_i$ be the size of the some DFA for $r_i^+$, and $N > \max N_i$ be some odd integer. Consider $x = a^N b^{N!}$. Since $x \in L$, $x \in r_i^+$ for some $i$. By the pumping lemma, we can pump a prefix of $x$ of length at most $N$. Thus $r_i^+$ generates $z = a^{N!} b^{N!}$. Similarly, $y = a^{N!} b^N$ is generated by some $r_j^+$, which also generates $z$. Note that $i \neq j$ since $xy \notin L$. Thus the representation cannot be disjoint.

Here are some papers that discuss these languages:

Thierry Cachat, The power of one-letter rational languages, DLT 2001, Springer LNCS #2295 (2002), 145-154.

S. Hovath, P. Leupold, and G. Lischke, Roots and powers of regular languages, DLT 2002, Springer LNCS #2450 (2003), 220-230.

H. Bordihn, Context-freeness of the power of context-free languages is undecidable, TCS 314 (2004), 445-449.

@Dave Clarke, L = a*|b* would be circular, but L* would be (a|b)*.

In terms of decidability, a language $L$ is circular if there is an $L'$ such that $L$ is the closure under + of $L'$ or if it is a finite union of circular languages.

(I'm dying to redefine "circular" replacing your $>$ with $\ge$. It simplifies things a lot. We can then characterise the circular languages as those for which there exists a NDFA whose starting state has only epsilon-transitions to accepting states and has an epsilon-transition to each accepting state).

Edit: A complete (simplified) PSPACE-completeness proof appears below.

Two updates. First, the normal form described in my other answer appears already in a paper by Calbrix and Nivat titled Prefix and period languages of rational $\omega$-langauges, unfortunately not available online.

Second, deciding whether a language is circular given its DFA is PSPACE-complete.

Circularity in PSPACE. Since NPSPACE=PSPACE by Savitch's theorem, it is enough to give an NPSPACE algorithm for non-circularity. Let $A = (Q,\Sigma,\delta,q_0,F)$ be a DFA with $|Q|=n$ states. The fact that the syntactic monoid of $L(A)$ has size at most $n^n$ implies that if $L(A)$ is not circular then there is a word $w$ of length at most $n^n$ such that $w \in L(A)$ but $w^k \notin L(A)$ for some $k \leq n$. The algorithm guesses $w$ and computes $\delta_w(q) = \delta(q,w)$ for all $q \in Q$, using $O(n\log n)$ space (used to count up to $n^n$). It then verifies that $\delta_w(q_0) \in F$ but $\delta_w^{(k)} \notin F$ for some $k \leq n$.

Circularity is PSPACE-hard. Kozen showed in his classic 1977 paper Lower bounds for natural proof systems that it is PSPACE-hard to decide, given a list of DFAs, whether the intersection of the languages accepted by them is empty. We reduce this problem to circularity. Given binary DFAs $A_1,\ldots,A_n$, we find a prime $p \in [n,2n]$ and construct a ternary DFA $A$ accepting the language

Every $s \in L$ of length $p>0$ can be written as $xy^{i}z$ where $x = z = \epsilon$ , $y = w \neq \epsilon$ . It's obvious that $|xy| \leq p$ and $|y| = |w| > 0$. It follows that the language is regular for non-empty inputs, by the pumping lemma.

For $w= \epsilon$ , the definition holds, since a NDFA that accepts the empty string will also accept any number of empty strings.

The union of the above languages is the language L and since regular languages are closed under union, it follows that every circular language is regular.

By Rice's theorem, $CIRCULARITY/TM$ is undecidable. The proof is similar to regularity.