Uma conjectura relacionada à conjectura de Cerny - contraexemplo / solicitação de referência

A conjectura de Cerny é a afirmação de que qualquer autômato de sincronização com $n$ estados tem uma palavra de duração sincronizada no máximo $(n-1)^2$ . O melhor limite superior atual para o comprimento de uma palavra sincronizada é $O(n^3)$ . Digamos que dois estados sejam mesclados por uma palavra se essa palavra levar os dois estados ao mesmo estado. Um argumento do tipo de lema de bombeamento mostra que, em um autômato de sincronização, quaisquer dois estados podem ser mesclados por uma palavra de comprimento no máximo $n^2$ . Suponha que a seguinte conjectura seja verdadeira.

Conjetura. Qualquer subconjunto de estados contém dois estados que podem ser mesclados por uma palavra de comprimento (digamos) no máximo . Ou, geralmente, qualquer conjunto grande de estados contém dois que podem ser mesclados por uma palavra de comprimento .$k$$n^2/k$$o(n^2)$

Então, podemos considerar a seguinte estratégia para construir uma palavra de sincronização. Começamos com todos os $n$ estados. Pela conjectura acima, há uma palavra curta mesclando dois estados, e fazemos disso o início de nossa palavra sincronizada. Podemos executar o DFA com essa palavra a partir de todos os estados e obtemos um conjunto de no máximo $n-1$ estados finais. Repetimos isso com esses estados finais como nossos novos estados iniciais. Depois de repetir isso um número suficiente de vezes, acabamos apenas com um estado final. Claramente, dada a conjectura acima, teríamos um limite melhor que $O(n^3)$ para o comprimento da menor palavra sincronizada.

O exposto acima motiva as seguintes perguntas:

1. Existem contra-exemplos conhecidos para essa conjectura? A construção original de Cerny (na página 18 ) satisfaz a afirmação da conjectura.
2. Você poderia fornecer uma referência onde idéias semelhantes são investigadas?

Encontrei uma resposta parcial à pergunta 2. A mesma idéia é discutida nos últimos 10 minutos desta palestra .