Dureza de encontrar uma palavra de comprimento no máximo

Declaração do problema:

Seja $M$ um autômato pushdown (potencialmente não determinístico) e seja $\cal A$ seu alfabeto de entrada. Existe uma palavra $w \in \cal A^*$ st $|w| \leq k$ que é aceito por $M$ ?

Esse problema está completo? Foi estudado? Existe um algoritmo que permita encontrar essa palavra?

Calcule a interseção do seu idioma CFG com o idioma normal (isso significa multiplicar o número de estados por ke adicionar um estado "sem saída"). Agora verifique se o resultado está vazio: converta em gramática (acho que o resultado terá tamanho polinomial) e "retorne" das produções epsilon.$\sum_{i=0}^k A^k$$k$

Edit: Kaveh mencionou que isso é polinomial em , então se $k$$k$ é dado como entrada, o algoritmo é exponencial em . No entanto, Kaveh encontrou uma maneira de corrigi-lo. Converta o autômato original em um CFG e substitua todos os terminais por um terminal fixo. Agora use um algoritmo iterativo para encontrar o tamanho mínimo de uma palavra gerada por cada não-terminal, conforme a seguir.$|k|$

Inicialize todos os comprimentos com e atualize iterativamente todos os comprimentos da maneira óbvia: dada uma produção A → a t ∏ B i (a ordem não importa), coloque f ( A ) = min ( f ( A ) , t + ∑ f ( B i ) ) . Reivindicação: isso converge em$\infty$$A \rightarrow a^t \prod B_i$$f(A) = \min(f(A),t+\sum f(B_i))$ iterações, onde$O(n)$$n$é o número de não terminais. O motivo é que, em uma árvore que gera a palavra de tamanho mínimo, nenhum não terminal é usado duas vezes; cada "aresta" leva no máximo uma iteração para processar (algumas arestas podem ser "atualizadas" em paralelo).

Altere todos os caracteres do alfabeto para um único caractere específico. Agora, você tem o PDA definido sobre um único caractere. Sua linguagem é uma gramática livre de contexto. No entanto, a gramática livre de contexto sobre um único caractere é regular. Portanto, converta o CFG em um idioma comum e verifique se ele contém uma palavra de comprimento k.

Agora, todas essas conversões tendem a exigir tempo exponencial, mas me parece improvável que o problema esteja completo. Especialmente se você permitir o tempo polinomial em .$k$

Posso estar errado e peço desculpas pela minha resposta inicial ...

Aliás, o fato de um CFG sobre uma única letra ser regular segue o teorema de Parikh. Embora uma prova direta não seja muito difícil. Veja o link para obter mais detalhes sobre o teorema de Parikh - é um resultado bonito ... http://www8.cs.umu.se/kurser/TDBC92/VT06/final/3.pdf

Um método provavelmente subótimo: execute o algoritmo de Djikstra. Então, para cada estado final, compare as distâncias com . Se algum for ≤ $k$$\leq k$ , aceite. Rejeitar.

EDIT: O acima funciona apenas para NFAs! Me desculpe por isso.