Prova do problema do limite superior da soma das raízes quadradas

Em [1], Garey et al. identificar o que mais tarde seria conhecido como o Problema da Soma das Raízes Quadradas no decurso da conclusão da PN do Euclidean TSP.

Dados os números inteiros e , determine se $a_1, a_2, \ldots, a_n$ $L$ $\sqrt{a_1} + \sqrt{a_2} + \cdots + \sqrt{a_n} < L$

Eles observam que nem sequer é evidente que este problema está em NP, uma vez que não está claro o que os dígitos mínimos de precisão são necessários no cálculo das raízes quadradas para suficientemente comparar a soma de $L$ . No entanto, eles citam um limite superior mais conhecido de $O(m2^n)$ que $m$ é "o número de dígitos na expressão simbólica original". Infelizmente, esse limite superior é atribuído apenas a uma comunicação pessoal de AM Odlyzko.

Alguém tem uma referência adequada a esse limite superior? Ou, na ausência de uma referência publicada, uma prova ou esboço de prova também seria útil.

Nota: Acredito que esse limite possa ser inferido como consequência de resultados mais gerais de Bernikel et. al. [2], por volta de 2000, nos limites de separação para uma classe maior de expressões aritméticas. Estou interessado principalmente em referências mais contemporâneas (ou seja, o que era conhecido por volta de 1976) e / ou em provas especializadas apenas no caso da soma das raízes quadradas.

Garey, Michael R., Ronald L. Graham e David S. Johnson. " Alguns problemas geométricos NP-completos ." Anais do oitavo simpósio anual da ACM sobre Teoria da Computação. ACM, 1976.
Burnikel, Christoph et al. " Uma separação forte e facilmente computável destinada a expressões aritméticas envolvendo radicais ". Algorithmica 27.1 (2000): 87-99.

reference-request cg.comp-geom na.numerical-analysis

— mhum
fonte

Veja também a resposta para essa pergunta cstheory.stackexchange , que diz "O progresso mais notável em relação a esse problema é de Eric Allender e seus co-autores. Em 2003, eles mostraram que esse problema está no 4º nível da Hierarquia de Contagem. Ftp. cs.rutgers.edu/pub/allender/slp.pdf "

— Neal Young em

Aqui está um esboço de prova bastante desleixado. Deixe que . Este é um número algébrico de grau no máximo e altura no máximo . Agora, é fácil verificar se (pode ser feito mesmo em - veja isso ). Se então ele é limitado a partir de por uma quantidade (porque é um número algébrico e, portanto, é raiz diferente de zero de um polinômio univariado) que é uma função do grau e altura do polinômio mínimo de $S = \sum_{i=1}^n \delta_i \sqrt{a_i}$ $\delta_i \in \{\pm 1\}$ $2^n$ $H = (max(a_i))^{n}$ $S = 0$ $TC^0$ $S \neq 0$ $0$ $S$ . Infelizmente, a dependência do grau é exponencial no número de raízes quadradas (e se os são primos distintos, esse limite de grau é ainda rígido, embora seja fácil lidar com esse caso de avaliação de sinais). A precisão necessária é, portanto, exponencial do número de raízes quadradas, que é -bits para . Agora basta truncar cada um dos para dizer $a_i$ $2^n$ $S$ $\sqrt{a_i}$ $2^{10n}$ bits para garantir que o sinal esteja correto. Isso é feito facilmente através de várias etapas polinomialmente da iteração de Newton). Agora cabe verificar se a soma é positiva, que é apenas adição e, portanto, linear no número de bits nos summands. Observe que esse cálculo ocorre no tempo polinomial em uma máquina BSS. Observe também que não estamos fazendo nenhum cálculo diretamente com o polinômio mínimo do próprio , que pode ter enormes coeficientes e parecer feio, apenas o usamos para raciocinar sobre a precisão com a qual precisamos truncar as raízes quadradas. Para mais detalhes, consulte o artigo de Tiwari . $S$

— Nikhil
fonte

Votado porque a única parte dessa resposta longa que realmente aborda a questão é a última linha, e é uma referência de 1992, não da década de 1970 ou anterior.

— David Eppstein

@ David Eu estava apenas tentando fornecer um esboço de prova do porquê precisamos de precisão de 2 ^ n bits para avaliar as raízes quadradas (a @ mhum pediu em algum momento). Não estou familiarizado com como esse limite foi derivado antes do artigo que citei (embora eu suspeite que ele deva usar técnicas semelhantes).

— Nikhil

Talvez seja só eu, mas quando uma pergunta diz: "Eu sei como provar isso, mas alguém pode me dar uma referência?", Encontro respostas mostrando como provar que é irritante. É como quando os alunos de um exame dão uma resposta a algo diferente do que foi solicitado, esperando (em vão) que eles recebam crédito parcial por saber algo, mesmo que não soubessem o que você queria.

— David Eppstein

Não sei de onde você está citando, mas existe uma mensagem "Alguém tem uma referência adequada a esse limite superior? Ou, na ausência de uma referência publicada, uma prova ou esboço de prova também seria útil". Em algum lugar na questão #

— Nikhil

Isso me parece plausivelmente próximo o que poderia ter sido na comunicação pessoal. Obrigado. (Acho que eu poderia ter tentado contato Odlyzko diretamente para descobrir)

— mhum