Encontrando um primo maior que um determinado limite

É um algoritmo de tempo polinomial determinístico conhecido pelo seguinte problema:

Entrada: um número natural (em codificação binária) $n$

Saída: um número primo . $p > n$

(De acordo com uma lista de problemas em aberto de Leonard Adleman, o problema foi aberto em 1995.)

— Vincenzo
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+1: Lembrou-me que o problema de decisão natural correspondente não é o teste de primalidade (que está em

), mas o seguinte problema: dado

, existe um número primo no intervalo

P

$\mathbf{P}$

a < b

$a<b$

[a, b]

$[a,b]$

— Kaveh

@ Kaveh: Três dedos apontando para mim, eu acho. Deveríamos estabelecer uma política que proíbe respostas nos comentários;)

— Hsien-Chih Chang 12 之

Respostas:

O melhor resultado foi incondicional corrente dada por Odlyzko, que encontra um primo em tempo. A forte conjectura no projeto Polymath4 procura resolver se isso pode ser feito em tempo polinomial, sob suposições razoáveis da teoria dos números, como o GRH. $p >N$ $O(N^{1/2 + o(1)})$

http://michaelnielsen.org/polymath1/index.php?title=Finding_primes

Atualmente, o projeto procura responder à seguinte pergunta:

$N$ $N$ $2N$ $O(N^{1/2 - c})$ $c>0$

Até agora, eles têm uma estratégia que determina a paridade do número de primos no intervalo.

http://polymathprojects.org/2010/06/29/draft-version-of-polymath4-paper/

— Cong Han
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Assumindo a conjectura padrão na teoria dos números, que afirma que

$p_n$ $p_{n+1}-p_n = O(\log^2 p_n)$

$n$ $n+1$ $n$ $n$

Mas não tenho certeza se isso pode ser provado incondicionalmente.

— Hsien-Chih Chang 張顯之
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Estou curioso para saber como a conjectura de Cramér é padrão. Fiquei com a impressão de que as chances eram contrárias.

— Cong Han

@ Cong: Eu não estou realmente familiarizado com a conjectura, e minha impressão é que temos evidências em resultados numéricos e isso também se aplica ao modelo aleatório. Há alguma indicação de que a conjectura possa ser falsa? Talvez eu deva declarar 'forte' em vez de 'padrão'.

— Hsien-Chih Chang # 14/02/11

@ Hsien-Chih: Eu sei muito pouco sobre isso (além de alguns boatos e interesse nos projetos Polymath), mas este artigo de Granville, vinculado a partir do wiki sobre a conjectura, parece sugerir isso: dartmouth.edu/~ chance / chance_news / for_chance_news / Riemann /…

— Cong Han

@ Can: Parece uma boa leitura, vou passar por isso em alguns dias!

— Hsien-Chih Chang # 14/02/11