Prove a irrelevância da prova no Coq?

Existe uma maneira de provar o seguinte teorema em Coq?

Theorem bool_pirrel : forall (b : bool) (p1 p2 : b = true), p1 = p2.

EDIT : Uma tentativa de dar uma breve explicação sobre "o que é irrelevância para a prova" (corrija-me alguém se eu estiver errado ou impreciso)

A idéia básica é que, no mundo das proposições (ou do Proptipo Coq), o que você (e você deveria) realmente se importa é a provabilidade de uma proposição, não as provas dela, pode haver muitas (ou nenhuma). Caso você tenha várias provas, do ponto de vista da provabilidade, elas são iguais no sentido em que provam a mesma proposição . Portanto, a distinção deles é irrelevante. Isso difere do ponto de vista computacional, onde você realmente se preocupam com a distinção de dois termos, por exemplo, basicamente, você não quer que os dois habitantes do booltipo (ou Set, nas palavras de Coq), ou seja, truee falsepara ser igual. Mas se você os colocar Prop, eles serão tratados da mesma forma.

— dia
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Intrigante. Tenho certeza de que você receberá uma resposta em poucos minutos na lista de correspondência Coq. (Certifique-se de postar a resposta aqui, se você faz.)

— Dave Clarke

Para aqueles que estão curiosos sobre o que é a sua pergunta, mas não estão familiarizados com o Coq, você pode adicionar uma frase ou duas explicando o que esse teorema significa em inglês? (E talvez o que "irrelevância prova" é sobre?)

— Joshua Grochow

@ Josué, não sou adequado para explicá-lo em detalhes, porque também é novo para mim, é também por isso que me intrigou por algum tempo. Mas de qualquer maneira, aqui está minha tentativa (veja na parte da pergunta).

— dia

@ Joshua, IIRC, em matemática construtiva, uma prova de uma implicação como

é uma função / processo / algoritmo / construção que converte uma prova de

em uma prova de

, e a construção é prova irrelevante se a prova resultante de

não é dependente de que a prova é dada por

A \to B

$A \rightarrow B$

A

$A$

B

$B$

B

$B$

A

$A$

— Kaveh

A irrelevância da prova em geral não está implícita na teoria por trás da Coq. Mesmo a irrelevância da prova para a igualdade não está implícita; é equivalente ao axioma K de Streicher . Ambos podem ser adicionados como axiomas .

Existem desenvolvimentos em que é útil raciocinar sobre objetos de prova, e a irrelevância da prova torna isso quase impossível. Pode-se argumentar que esses desenvolvimentos deveriam ter todos os objetos cuja estrutura é importante Set, mas com a teoria básica de Coq a possibilidade existe.

Há uma subcasa importante da irrelevância da prova que sempre é válida. O axioma K de Streicher sempre se aplica a domínios decidíveis, ou seja, as provas de igualdade em conjuntos decidíveis são únicas. A prova geral está no Eqdep_decmódulo da biblioteca padrão da Coq. Aqui está o seu teorema como corolário (minha prova aqui não é necessariamente a mais elegante):

Require Bool.
Require Eqdep_dec.
Theorem bool_pirrel : forall (b : bool) (p1 p2 : b = true), p1 = p2.
Proof.
  intros; apply Eqdep_dec.eq_proofs_unicity; intros.
  destruct (Bool.bool_dec x y); tauto.
Qed.

Para este caso especial, aqui está uma prova direta (inspirada na prova geral em Eqdep_dec.v). Primeiro, defina que definimos uma prova canônica true=b(como de costume no Coq, é mais fácil ter a constante primeiro). Então mostramos que qualquer prova disso true=bprecisa ser refl_equal true.

Let nu b (p:true = b) : true = b :=
  match Bool.bool_dec true b with
    | left eqxy => eqxy
    | right neqxy => False_ind _ (neqxy p)
  end.
Lemma bool_pcanonical : forall (b : bool) (p : true = b), p = nu b p.
Proof.
  intros. case p. destruct b.
  unfold nu; simpl. reflexivity.
  discriminate p.
Qed.

Se você adicionar lógica clássica ao Coq, terá irrelevância à prova. Intuitivamente falando, a lógica clássica fornece um oráculo de decisão para proposições, e isso é bom o suficiente para o axioma K. Há uma prova no módulo de biblioteca padrão da Coq Classical_Prop.

— Gilles 'SO- parar de ser mau'
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