Relaxamento LP de conjunto independente

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Eu tentei o seguinte relaxamento de LP do conjunto independente máximo

max \sum_{i} x_{Eu}

$\max \sum_i x_i$

st x_{Eu} + x_{j} \leq 1 \forall (Eu, j) \in E

$\text{s.t.}\ x_i+x_j\le 1\ \forall (i,j)\in E$

x_{Eu} \geq 0 0

$x_i\ge 0$

Eu recebo $1/2$ para cada variável para cada gráfico cúbico não bipartido que tentei.

É verdade para todos os gráficos cúbicos não bipartidos conectados?
Existe relaxamento de LP que funciona melhor para esses gráficos?

Atualização 03/05 :

Aqui está o resultado do relaxamento de LP baseado em clique sugerido por Nathan

Resumi experiências aqui. Curiosamente, parece haver alguns gráficos não bipartidos para os quais o relaxamento mais simples do LP é essencial.

graph-theory co.combinatorics linear-programming

— Yaroslav Bulatov
fonte

A solução certamente não é única. Em um gráfico bipartido cúbico, você pode ter uma solução ideal com em uma parte e na outra parte.

x_{i} = 1 / 2

$x_i = 1/2$

x_{i} = 1

$x_i = 1$

x_{i} = 0

$x_i = 0$

— Jukka Suomela

1

Desculpe, perdi uma parte importante, considero apenas gráficos cúbicos não bipartidos. Todo grafo cúbico bipartite Tentei tinha uma solução integral

— Yaroslav Bulatov

Você também precisa adicionar "conectado" se quiser evitar soluções não exclusivas.

— Jukka Suomela

2

(1) Você esqueceu de escrever as restrições da não-negatividade. (2) Para gráficos bipartidos, o valor ótimo desse relaxamento de LP é sempre igual ao tamanho máximo de um conjunto independente. Este é um corolário imediato do teorema de König .

— Tsuyoshi Ito

2

@Yaroslav: Uma pergunta paralela: como você desenha esses gráficos?

— Tim

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Não bipartido ligado gráficos cúbicos têm a única solução óptima ; em um gráfico cúbico bipartido, você tem uma solução ideal integral. $x_i = 1/2$

Prova: em um gráfico cúbico, se você somar todos os restrições , terá e, portanto, o ideal é no máximo . $3n/2$ $x_i + x_j \le 1$ $\sum_i 3 x_i \le 3n/2$ $n/2$

A solução para todos os é trivialmente viável, e, por conseguinte, também optimizada. $x_i = 1/2$ $i$

Em um gráfico cúbico bipartido, cada parte tem metade dos nós, e a solução em uma parte é, por conseguinte, também optimizada. $x_i = 1$

Qualquer solução óptima deve ser apertado, isto é, que deve ter $\sum_i 3 x_i = 3n/2$ e, por conseguinte, para cada aresta . Assim, se você tem um ciclo estranho, você deve escolher para cada nó no ciclo. E então, se o gráfico estiver conectado, essa opção será propagada por toda parte. $x_i + x_j = 1$ $\{i,j\}$ $x_i = 1/2$

— Jukka Suomela
fonte

2

Como escrevi em um comentário sobre a questão, você só precisa da bipartididade para provar a existência de uma solução ideal integral (mas isso requer uma prova diferente da sua).

— Tsuyoshi Ito

@Tsuyoshi: Sim, é bom ter em mente o teorema de König. Por exemplo, juntamente com a observação acima, ele mostrará que qualquer gráfico cúbico bipartido possui uma fatoração 1 (ou seja, pode ser particionado em três combinações perfeitas). É claro que essa é a maneira "errada" de provar esse resultado, mas acho que demonstra bem o poder do teorema de König - se você se lembra do teorema de König, existem muitos resultados clássicos na teoria dos grafos que você pode reinventar facilmente .

— Jukka Suomela

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Este LP é semi-integral para todos os gráficos, ou seja, existe uma solução ideal para que cada variável esteja em {0,1 / 2,1}. Simplesmente decorre de um teorema de Nemhauser e Trotter. Obviamente, a mesma conclusão de meia integralidade segue para o LP do problema do complemento (capa de vértice). Quando o gráfico é bipartido, a solução é integral. Segue-se simplesmente do teorema min-cut de fluxo máximo ou trabalhando com soluções pontuais extremas deste LP. Além disso, as arestas de 1/2 formam um ciclo ímpar.

Obviamente, este LP não é bom para resolver problemas de SI. Adicionar restrições de Clique ou SDPs é uma abordagem muito melhor.

Embalagens de vértices: propriedades estruturais e algoritmos GL Nemhauser e Trotter-Math. Program., 1975

— Mohit Singh
fonte

Certo, veja também o Teorema 5.6 de deste documento, para um algoritmo muito simples que encontra com eficiência uma solução semi-integral.

— Jukka Suomela

O LP com restrições Clique resolveu cerca de 50% mais gráficos do conjunto acima .... onde posso encontrar a formulação SDP?

— Yaroslav Bulatov 01/03

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A tese de doutorado de Sergiy Butenko de 2003 revisa alguns outros relaxamentos de LP da MIS, bem como alguns relaxamentos quadráticos.

— Suresh Venkat
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$K_4$

Isso é chamado de número de conjunto independente fracionário. Você encontrará algumas informações lá: http://en.wikipedia.org/wiki/Fractional_coloring ou no livro "Teoria dos grafos fracionais" de Daniel Ullman e Edward Scheinerman ( http://www.ams.jhu.edu/~ers / fgt / ).

Praticamente, essa formulação é NP-Difícil de calcular, mesmo que todas as variáveis sejam contínuas -> o número de panelinhas é exponencial e difícil de calcular ... Mas você é livre para enumerar apenas algumas panelinhas especiais, por exemplo, apenas as arestas (que você acabou de fazer) ou arestas + triângulos ou todas as panelinhas até $K_k$

Nathann

(*) dito isto, você teoricamente tem uma diferença arbitrariamente grande entre o resultado ideal no LP, onde todas as panelinhas são representadas e o conjunto independente ideal

— Nathann Cohen
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k

$k$

(k + 1)

$(k+1)$

x_{i} = 1 / k

$x_i = 1/k$

i

$i$

interessante, isso parece estar relacionado com a facilidade de IndependentSet em grafos cordais

— Yaroslav Bulatov

Fiz algumas experiências, ea solução deste LP relaxamento sempre foi integral na grafos cordais

— Yaroslav Bulatov

1

@YaroslavBulatov Há uma razão para sua observação. As desigualdades de clique e os limites da não-negatividade fornecem o casco convexo de conjuntos independentes, se e somente se o gráfico for perfeito. Os gráficos de acordes são perfeitos.

— precisa