Relaxamento SDP do conjunto independente

Estou vendo a página 28 de Lovasz "Programas semidefinidos e otimização combinatória" e fornece a seguinte aproximação do número de independência do gráfico

max u^{'} Z u

$\max u' Z u$ sujeito a

Z ≻ 0

$Z\succ 0$

Z_{i j} = 0 \forall i j \in E (G)

$Z_{ij}=0 \ \forall ij\in E(G)$

t r (Z) = 1

$tr(Z)=1$

Posso obter um conjunto independente (ou algo próximo a um conjunto independente) diretamente da solução de relaxamento do SDP? Lovasz diz que o SDP é a única maneira conhecida de resolver esse problema exatamente para gráficos perfeitos, isso ainda é verdade?

Esclarecimento: existe um relaxamento SDP semelhante para o tamanho do corte máximo, e eu posso obter a solução completa (o corte real, e não o tamanho), pegando a raiz quadrada de Z e fazendo o arredondamento aleatório (cap.6 do livro Williamson / Shmoys) ) Gostaria de saber se existe uma técnica semelhante para este problema

— Yaroslav Bulatov
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Para a primeira pergunta, eu realmente não entendo o que você quer dizer com "o conjunto independente real". O SDP é um relaxamento e, portanto, o valor ideal do SDP limita o número de independência acima. Se eles diferem, nenhum conjunto independente atinge o valor ideal do SDP. Este pode ser o caso se o gráfico não for perfeito. Você poderia tornar mais explícito o que você precisa para o seu "conjunto independente real"?

— Yoshio Okamoto

Eu quero ficar maior conjunto independente em vez de "tamanho do maior conjunto independente"

— Yaroslav Bulatov

Obrigado pelo esclarecimento, mas ainda estou pensando. O SDP para o corte máximo é usado para aproximação. Ou seja, o arredondamento aleatório fornece um corte que tem valor "próximo" ao valor ideal de corte, não necessariamente um corte máximo real. Se você precisar de uma técnica semelhante, acho que o que realmente deseja é um conjunto independente com tamanho próximo ao número de independência. Ou você se concentra em gráficos perfeitos ou deseja lidar com gráficos gerais?

— Yoshio Okamoto

Quero encontrar o conjunto independente máximo no gráfico perfeito. ipso facto dá uma solução, mas requer resolver vários SDPs

— Yaroslav Bulatov

Respostas:

Acredito que o SDP é a única técnica conhecida para resolver o problema do conjunto independente máximo em gráficos perfeitos. Para obter o conjunto independente, pode-se fazer o seguinte. Adivinhe se um vértice está no conjunto independente, exclua-o e resolva o SDP. Se retornar o mesmo valor, haverá um conjunto independente sem esse vértice. Portanto, faça esse vértice adjacente a todos os outros vértices e continue. Isso deve fornecer um conjunto independente real.

Caso contrário, identificamos um vértice do conjunto independente e podemos removê-lo e continuar no gráfico restante.

— ipsofacto
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Além disso, isso foi implementado e funciona muito bem (com algumas otimizações): E. Alper Yıldırım e Xiaofei Fan-Orzechowski, Sobre a extração de conjuntos estáveis máximos em gráficos perfeitos usando a função Theta de Lovász , otimização computacional e aplicativos 33 , 229-247, 2006 . dx.doi.org/10.1007/s10589-005-3060-5

— András Salamon

Interessante ... parece que a perfeição não é necessária para que a estimativa do número de independência do SDP seja exata (aqui está o exemplo mathoverflow.net/questions/57336/… ), portanto, isso deve funcionar para uma classe maior de gráficos

— Yaroslav Bulatov

@Yaroslav: Você está certo, a perfeição não é necessária. Mas se você adaptar a estratégia sugerida, precisará da exclusão de vértices também com a mesma propriedade. Essa condição é satisfeita automaticamente se o gráfico for perfeito, mas, caso contrário, você precisará ter cuidado.

— Yoshio Okamoto

Não tenho certeza se o comentário de Lovasz ainda é válido. Houve alguns trabalhos recentes sobre este (e relacionados) problemas em gráficos perfeitos. Você deve dar uma olhada no link a seguir para técnicas que envolvem a passagem de mensagens em vez de resolver SDPs: http://www.cs.columbia.edu/~jebara/papers/uai09perfect.pdf

— Nicholas Ruozzi
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Artigo interessante, entendo corretamente que, se o produto máximo converge em um gráfico perfeito, a decodificação ávida recuperará o conjunto independente máximo?

— Yaroslav Bulatov 04/03/11

Eu dei uma olhada no artigo, mas não consegui descobrir como os métodos resolvem o problema máximo do conjunto independente para gráficos perfeitos em tempo polinomial. O número de cliques máximos pode ser exponencial em um gráfico perfeito e, portanto, os tempos de execução nos Corolários 1 e 2 não são polinomiais. Embora eu não entenda muito o conteúdo da Seção 7, não vejo qual problema de otimização linear o método da Seção 7 resolve. As experiências são realizadas para o problema máximo de correspondência, mas não para o problema máximo do conjunto independente.

— Yoshio Okamoto

@yoshio Você está correto. Sabe-se que o LP para MWIS é integral se você incluir as restrições apropriadas em todas as (exponencialmente numerosas) cliques. E é a perfeição do gráfico de clique que o artigo discute. Parece que os autores apenas conjecturam que o produto máximo em um NMRF sempre produz a atribuição correta de MAP.

— Nicholas Ruozzi

Obrigado. Então, posso assumir que o artigo não fornece um algoritmo de tempo polinomial para o problema máximo do conjunto independente para gráficos perfeitos?

— Yoshio Okamoto

@YoshioOkamoto: parece que sim. Um artigo recente fornece um exemplo de gráfico perfeito em que essa abordagem converge para solução errada. Figura 3 de "Revisitando a estimativa do MAP, a transmissão de mensagens e os gráficos perfeitos" ( datalab.uci.edu/papers/AISTATS_perfect_graphs.pdf )

— Yaroslav Bulatov 20/09/11