São proposições de tipos? (Quais são os tipos exatamente?)

Eu tenho lido muito sobre sistemas de tipos e coisas desse tipo e entendo por que eles foram introduzidos (para resolver o paradoxo de Russel). Eu também entendo aproximadamente sua relevância prática em linguagens de programação e sistemas de prova. No entanto, não estou totalmente confiante de que minha noção intuitiva do que é um tipo esteja correta.

Minha pergunta é: é válido afirmar que tipos são proposições?

Em outras palavras, a afirmação "n é um número natural" corresponde à afirmação "n tem o tipo 'número natural'", significando que todas as regras algébricas que envolvem números naturais são válidas para n. (Ou seja, dito de outra maneira, regras algébricas são declarações. Essas declarações que são verdadeiras para números naturais também são verdadeiras para n.)

Então, isso significa que um objeto matemático pode ter mais de um tipo?

Além disso, eu sei que conjuntos não são equivalentes a tipos porque você não pode ter um conjunto de todos os conjuntos. Eu poderia afirmar que, se um conjunto é um objeto matemático semelhante a um número ou uma função , um tipo é um tipo de objeto meta-matemático e, pela mesma lógica, um tipo é um objeto meta-meta-matemático? (no sentido de que cada "meta" indica um nível mais alto de abstração ...)

Isso tem algum tipo de link para a teoria das categorias?

O papel principal dos tipos é dividir os objetos de interesse em diferentes universos, em vez de considerar tudo o que existe em um universo. Originalmente, os tipos foram criados para evitar paradoxos, mas como você sabe, eles têm muitas outras aplicações. Os tipos permitem classificar ou estratificar objetos (consulte a entrada do blog ).

Alguns trabalham com o slogan de que proposições são tipos , então sua intuição certamente lhe serve bem, embora existam trabalhos como Propositions as [Types] de Steve Awodey e Andrej Bauer que argumentam o contrário, ou seja, que cada tipo tem uma proposição associada. A distinção é feita porque os tipos têm conteúdo computacional, enquanto as proposições não.

Um objeto pode ter mais de um tipo devido a subtipagem e por coerção de tipo .

Os tipos geralmente são organizados em uma hierarquia, na qual os tipos desempenham o papel do tipo de tipos, mas eu não diria que os tipos são meta-matemáticos. Tudo está acontecendo no mesmo nível - esse é especialmente o caso quando se lida com tipos dependentes .

Existe uma ligação muito forte entre tipos e teoria de categorias. De fato, Bob Harper (citando Lambek) diz que Lógicas, Idiomas (onde os tipos residem) e Categorias formam uma trindade sagrada . Citação:

Esses três aspectos dão origem a três seitas de adoração: Lógica, que dá primazia a provas e proposições; Idiomas, que primam programas e tipos; Categorias, que dá primazia aos mapeamentos e estruturas.

Você deve olhar para a correspondência de Curry-Howard para ver o link entre a lógica e as linguagens de programação (tipos são proposições) e as categorias fechadas cartesianas , para ver a relação entre a relação com a teoria das categorias.