Desequilíbrio máximo em um gráfico?

Deixe ser um gráfico conectado com nodos e bordas . Deixe denotar o peso (número inteiro) de gráfico , com o peso total no gráfico. O peso médio por nó é então . Seja denota o desvio do nó da média. Nós chamamoso desequilíbrio do nó . $G$ $G = (V,E)$ $V = 1 \dots n$ $E$ $w_i$ $G$ $\sum_i w_i = m$ $\bar w = m/n$ $e_i = w_i - \bar w$ $i$ $|e_i|$ $i$

Suponha que o peso entre dois nós adjacentes possa diferir no máximo , ou seja, $1$

w_{i} - w_{j} \leq 1 \forall (i, j) \in E .

$w_i - w_j \le 1\; \forall (i,j) \in E.$

Pergunta : Qual é o maior desequilíbrio possível que a rede pode ter, em termos de e ? Para ser mais preciso, imagine o vetor . Eu ficaria igualmente satisfeito com os resultados relativos a ou . $n$ $m$ $\vec{e} = (e_1, \dots, e_n)$ $||\vec{e}||_1$ $||\vec{e}||_2$

Para , pode ser encontrado um limite simples em termos de diâmetro do gráfico: Como todo deve somar zero, se houver um grande positivo , em algum lugar deve haver um negativo . Daí a diferença deles é pelo menos , Mas esta diferença pode ser, no máximo, a distância mais curta entre os nós e , o qual por sua vez pode ser, no máximo, ao diâmetro gráfico. $||\vec{e}||_\infty$ $e_i$ $e_i$ $e_j$ $|e_i - e_j|$ $|e_i|$ $i$ $j$

Estou interessado em limites mais fortes, de preferência para o número $1$ ou $2$ . Suponho que deveria envolver alguma teoria espectral dos grafos para refletir a conectividade do gráfico. Tentei expressá-lo como um problema de fluxo máximo, sem sucesso.

EDIT: Mais explicações. Estou interessado no número $1$ ou $2$ pois eles refletem com mais precisão o desequilíbrio total. Uma relação trivial seria obtida em $||\vec{e}||_1 \leq n|||\vec{e}||_\infty$ e $||\vec{e}||_2 \leq \sqrt{n}||\vec{e}||_\infty$ . Espero, no entanto, que, devido à conexão do gráfico e à minha restrição na diferença de cargas entre os nós adjacentes, as núcleos $1$ e $2$ sejam muito menores.

Exemplo: Hipercubo da dimensão d, com . Possui diâmetro . O desequilíbrio máximo é então no máximo . Isso sugere como um limite superior para o -norm . Até agora, não consegui construir uma situação em que isso seja realmente obtido, o melhor que posso fazer é algo como , em que integro um ciclo ao O hipercubo e os nós têm desequilíbrios , , , etc. Então, aqui o limite é desativado por um fator de $n = 2^d$ $d = \log_2(n)$ $d$ $1$ $nd = n\log_2(n)$ $||\vec{e}||_1 = n/2$ $0$ $1$ $0$ $-1$ $\log(n)$ , que já considero demais, pois estou procurando limites (assintoticamente) restritos.

graph-theory co.combinatorics spectral-graph-theory

— Lagerbaer
fonte

pergunta interessante. existe alguma aplicação em particular?

— Suresh Venkat

@ András Salamon: Obrigado pela edição. @Suresh Venkat: Suponha que os pesos representem o número de agentes de tamanho uniforme, que desejam minimizar sua carga experiente. Eles vão querer passar de para se . Se ninguém quer se mexer, chamamos isso de equilíbrio de Nash. Pergunta: Qual é o maior desequilíbrio total que poderíamos ter no equilíbrio de Nash?

i

$i$

j

$j$

w_{i} > w_{i}

$w_i > w_i$

— Lagerbaer

Você tem um exemplo de gráfico em que seu diâmetro simples é muito frouxo?

— Mhum 09/04

Bem, posso vincular trivialmente as outras duas normas usando . Estou interessado no número ou pois eles capturam com mais precisão o desequilíbrio "total". Eu adicionei um exemplo à minha pergunta.

| | \vec{e} | |_{1} \leq n | | \vec{e} | |_{\infty}

$||\vec{e}||_1 \leq n||\vec{e}||_\infty$

1

$1$

2

$2$

— Lagerbaer

Para o hipercubo, e se pesarmos os vértices pelo peso de Hamming? Eu recebo algo como para o e acho que o será da ordem .

\sqrt{d (n - 2)} / 2

$\sqrt{d(n - 2)}/2$

l_{2}

$l_2$

l_{1}

$l_1$

n d

$nd$

— Artem Kaznatcheev

Respostas:

Desdeé delimitada pelo diâmetro , a norma será trivialmente delimitada por , da mesma forma que para a norma , exceto por (na verdade, a norma é delimitada por ). $|e_i|$ $d$ $\ell_1$ $nd$ $\ell_2$ $\sqrt{n}d$ $\ell_p$ $n^{1/p}d$

O caso é surpreendentemente fácil de analisar. $\ell_1$

Para um caminho, é fácil ver que é ; portanto, você não pode fazer melhor que . $\|\vec e\|_1$ $O(n^2)$ $O(nd)$

Para uma árvore -ary completa , você pode dividi-la ao meio na raiz, configurando , subindo um lado e descendo o outro até que as folhas tenham , produzindo novamente. $k$ $w_{\text{root}} = 0$ $|e_i| = |w_i| = \log_k n$ $O(n\log_k n) = O(nd)$

Para uma camarilha, não importa realmente como você distribui os pesos, uma vez que todos estarão um a do outro, e isso renderá novamente. $1$ $O(n) = O(nd)$

Quando você percebe que o que estamos falando aqui é uma função , e então estamos usando o norma, contanto que você possa distribuir pesos arbitrariamente uniformemente no intervalo, o limite será . $e : \mathbb{Z} \to [-d/2,d/2] \subset \mathbb{R}$ $\ell_1$ $e_i \in [-d/2,d/2]$ $O(nd)$

A única maneira de mudar isso é jogar com a massa. Por exemplo, se você tiver várias panelinhas gigantes em pontos que são necessariamente equilibrados, como uma camarilha gigante com dois caminhos de comprimento igual que sobressaem, poderá contar com um limite de apenas (por exemplo) . $O(d^2)$

Isso também pode ser verdade para os expansores, mas não tenho certeza. Eu poderia imaginar um caso em que você define em um gráfico regular e depois permite que os valores aumentem posteriormente a cada salto. Parece provável que a média possa ter mais massa, mas não sei se seria suficiente para afetar o limite. $w_1 = 0$

Eu acho que você poderia raciocinar da mesma forma sobre . $\ell_2$

EDITAR:

Nos comentários, descobrimos um limite (fraco) de usando as restrições do problema e alguma teoria básica de grafos espectrais. $\ell_2$ $O(|E|/\lambda_2(L))$

— Josephine Moeller
fonte

Eu gosto da sua resposta. No entanto, tenho um problema com " contanto que você possa distribuir pesos arbitrariamente de maneira uniforme no intervalo ". Não poderia imaginar uma situação em que o diâmetro limite me permitisse colocar um peso algum lugar, mas a estrutura do gráfico é tal que não posso compensar esse grande peso positivo? Portanto, enquanto é obviamente um limite superior, seria possível obter limites mais restritos? Eventualmente, usando o segundo menor autovalor do Laplaciano ou o segundo maior autovalor de adjacência (como eles codificam informações de conectividade)?

e_{i} = d / 2

$e_i = d/2$

O (n d)

$\mathcal{O}(nd)$

— Lagerbaer 09/04

Bem, você não está colocando , você está colocando . Portanto, se você tiver um inclinado , deve haver um grande número de pesos pequenos que o compensem do outro lado da média ou algum outro peso grande diametralmente oposto a ele. A única maneira de obter um limite menor que é contar com a estrutura de alguma forma. E, como eu disse, não tenho certeza do que isso significaria para, digamos, um expansor. Eu não acho que você poderia fazê-lo puramente com base na condutância, por causa dos casos que expus em minha resposta.

e_{i}

$e_i$

w_{i}

$w_i$

e_{i}

$e_i$

O (n d)

$O(nd)$

— Josephine Moeller

Deixe-me dar outro exemplo. Um gráfico de haltere com dois cliques tem muito baixa condutância, mas o seu desequilíbrio é delimitada por 2.

— Josephine Moeller

Um limite relacionado à estrutura seria algo com o qual eu ficaria perfeitamente feliz. Foi por isso que mencionei os autovalores, pois eles se relacionam com as propriedades da conexão. Existem, por exemplo, limites no diâmetro, no caminho médio, no número isoperimétrico etc. em termos do segundo menor vetor próprio da matriz laplaciana do gráfico.

— Lagerbaer 09/04

Leia seu outro exemplo agora. Espero que esse gráfico tenha também um segundo autovalor do Laplaciano muito menor, pois o número isoperimétrico ficaria em torno de .

2 / n

$2/n$

— Lagerbaer

Para gráficos conectados, o desequilíbrio é superior delimitado pelo diâmetro do gráfico. Para limitar o desequilíbrio , podemos reescrever cada como onde é o caminho mais curto de para . Defina . Podemos escrever $|w_i - 1/n\sum_k w_k|$ $w_k$ $w_k - v_1 + v_1 - v_2 + v_2 - ... - v_k + v_k - w_i + w_i$ $w_k, v_1,...,v_k, w_i$ $w_i$ $w_k$ $w_{ki} = w_k - v_1 + v_1 - v_2 + v_2 - ... - v_k + v_k - w_i$

| w_{i} - 1 / n \sum_{k} w_{k} | = | w_{i} - 1 / n \sum_{k} (w_{k i} + w_{i}) | = | \sum_{k \neq i} \frac{w_{k i}}{n} |

$|w_i - 1/n\sum_k w_k| = |w_i - 1/n\sum_k (w_{ki} + w_i)| = |\sum_{k\neq i} \frac{w_{ki}}{n}|$

Cada é superior delimitada pelo comprimento do percurso mais curto a partir de a por sua pressuposto de que para cada . Portanto, obtemos o limite trivial: $w_{ki}$ $i$ $k$ $w_i - w_j \leq 1$ $i,j\in E$

| w_{i} - 1 / n \sum_{k} w_{k} | \leq \frac{(n - 1)}{n} D

$|w_i - 1/n\sum_k w_k| \leq \frac{(n-1)}{n} D$

Isso pode não estar muito longe do ideal. Estou pensando em uma completa árvore -ary onde os nós em cada nível tem peso, um maior do que o peso do nível anterior. Uma grande fração do gráfico tem o peso mais alto, . Portanto, a média deve ser inclinada para o topo. Como e se tornam maiores, espero para se aproximar e mais perto de o que significa que o desequilíbrio deve ficar cada vez mais perto . $k$ $D+1$ $k$ $n$ $m$ $D+1$ $D$

— Nicholas Ruozzi
fonte

Tanto quanto posso dizer, a construção esboçada aqui pode ser rigorosa, para alcançar um desequilíbrio tão próximo de quanto desejado. No entanto, como a pergunta não especifica o que acontece quando os vértices não são adjacentes, uma construção mais fácil é um gráfico completamente desconectado, com o vértice tendo peso e todos os outros vértices com peso . Isso tem peso médio que também é seu desequilíbrio máximo. Isso claramente pode ser feito arbitrariamente próximo de , escolhendo um grande o suficiente , e pode ser tão grande quanto desejado.

D < \infty

$D<\infty$

0

$0$

0

$0$

k

$k$

k (n - 1) / n

$k(n-1)/n$

k

$k$

n

$n$

k

$k$

— András Salamon

@ András Salamon: Bom ponto. A resposta acima assume que o gráfico está conectado. Vou editá-lo para deixar isso claro.

G

$G$

— Nicholas Ruozzi

Eu adicionei a restrição "conectada" à minha pergunta, pois era isso que eu tinha em mente. A resposta aqui apresenta um limite para . Além disso, quando solicitei o "pior" caso, tive em mente que o gráfico seria corrigido e tentaria encontrar o pior caso para esse gráfico específico.

| | \vec{e} | |_{\infty}

$||\vec{e}||_\infty$

— Lagerbaer