Qual é a maior lacuna entre a classificação e a classificação aproximada?

Sabemos que o log da classificação de uma matriz 0-1 é o limite inferior da complexidade da comunicação determinística, e o log da classificação aproximada é o limite inferior da complexidade da comunicação aleatória. A maior lacuna entre a complexidade determinística da comunicação e a complexidade aleatória da comunicação é exponencial. Então, e quanto à diferença entre classificação e classificação aproximada de uma matriz booleana?

— pyao
fonte

qual é a "classificação aproximada" de uma matriz?

— Suresh Venkat

A classificação aproximada

ϵ

$\epsilon$ de uma matriz booleana

M

$M$ é a classificação mínima de uma matriz real

A

$A$ que difere de

M

$M$ por no máximo

ϵ

$\epsilon$ em qualquer entrada (cf. Buhrman e Wolf 2001, "Complexidade da comunicação em limites inferiores por polinômios"). Seria útil editar a pergunta para explicar isso (se for a definição desejada) e descrever o papel de

ϵ

$\epsilon$ (já que a diferença de classificação depende claramente de

ϵ

$\epsilon$ ).

— Mjqxxxx

Primeiro, darei algumas informações e definirei a classificação aproximada. Uma boa referência é a recente pesquisa de Lee e Schraibman Lower Bounds on Communication Complexity .

Definição: Seja uma matriz de sinais. A classificação aproximada de com fator de aproximação , denotada , é $A$ $A$ $\alpha$ $rank^\alpha(A)$

$rank^\alpha(A)=\min_{B:1\leq A[i,j]\cdot B[i,j] \leq \alpha} rank(B)$ .

Quando , defina $\alpha\to \infty$

$rank^\alpha(A)=\min_{B:1\leq A[i,j]\cdot B[i,j]} rank(B)$ .

Um resultado de Krause diz que que e são complexidade da comunicação em moeda privada com erro com limite de com erro com limite superior por . $R_\epsilon^{pri}(A)\geq \log rank^\alpha(A)$ $\alpha=1/(1-2\epsilon)$ $R_\epsilon^{pri}$ $A$ $\epsilon$

O acima foi para o fundo. Agora, para responder à pergunta, Camas e Simon mostrou que caracteriza completamente a complexidade de comunicação de erros ilimitada de . Eles também demonstraram que esta concorda com a dimensão mínima de um arranjo compreendendo a função booleana cuja matriz de comunicação é . A complexidade da comunicação de erro ilimitado da função de igualdade é . Tenha isso em mente. $rank^\infty(A)$ $A$ $A$ $O(1)$

A matriz de comunicação para igualdade é apenas a identidade, ou seja, uma matriz booleana com linhas e colunas com todas na diagonal. Vamos denotar isso por . Alon mostrou que o que é muito próximo de um fator logarítmico (com o teorema de Krause, obtemos ). $2^n$ $2^n$ $I_{2^n}$ $rank^2(I_{2^n})=\Omega(n)$ $R_\epsilon^{pri}(EQ)=\Omega(\log n)$

A matriz de identidade possui classificação completa, ou seja, . Portanto, temos separações exponencialmente grandes para e . $2^n$ $\alpha=2$ $\alpha\to\infty$

— Marcos Villagra
fonte

Obrigado. mas minha pergunta é se existe um intervalo superexponencial para a e a , onde mas não .

r a n k (A)

$rank(A)$

r a n k^{α} (A)

$rank^{\alpha}(A)$

α > 1

$\alpha>1$

α \neq \infty

$\alpha\neq\infty$

— pyao

aah eu vejo, mas isso não está escrito na pergunta. Que eu saiba, a maior diferença é exponencial.

— Marcos Villagra

Marcos fornece uma referência que mostra uma diferença de entre e . como pode haver uma lacuna superexponencial quando o tamanho da matriz é ?

2^{n} / n

$2^n/n$

r a n k

${rank}$

{r a n k}^{2}

${rank}^2$

2^{n}

$2^n$

— Sasho Nikolov

você quer dizer uma lacuna de vez de ?

Ω (2^{n})

$\Omega(2^n)$

2^{Ω (n)}

$2^{\Omega(n)}$

— Sasho Nikolov 28/11

Sasho faz um bom argumento, o que você quer dizer com "superexponencial? Para qualquer problema de comunicação, a matriz está sempre acabada .

{0, 1}^{n} \times {0, 1}^{n}

$\{0,1\}^n \times \{0,1\}^n$

— Marcos Villagra