Prova do lema de bombeamento para linguagens sem contexto usando autômatos de empilhamento

O lema de bombeamento para linguagens regulares pode ser provado considerando-se um autômato de estado finito que reconhece a linguagem estudada, escolhendo uma corda com um comprimento maior que o número de estados e aplicando o princípio do buraco de pombo. O lema de bombeamento para linguagens livres de contexto (assim como o lema de Ogden, que é um pouco mais geral), no entanto, é comprovado considerando uma gramática livre de contexto da linguagem estudada, escolhendo uma sequência suficientemente longa e observando a árvore de análise.

Dada a semelhança dos dois lemas de bombeamento, você esperaria que o sem contexto também pudesse ser provado de maneira semelhante ao normal, considerando um autômato de empilhamento que reconhece o idioma, em vez de uma gramática. No entanto, não consegui encontrar nenhuma referência a essa prova.

Daí a minha pergunta: existe uma prova do lema de bombeamento para linguagens sem contexto que envolve apenas autômatos de empilhamento e não gramáticas?

Pensei nesse problema novamente e acho que tenho uma prova completa. É um pouco mais complicado do que eu previ. Comentários são muito bem-vindos! Atualização: enviei esta prova no arXiv, caso isso seja útil para alguém: http://arxiv.org/abs/1207.2819

$\DeclareMathOperator{\fp}{fp}$ $\DeclareMathOperator{\lp}{lp}$ $\newcommand{\fpp}[1]{\widehat{\fp{#1}}}$ $\newcommand{\lpp}[1]{\widehat{\lp{#1}}}$

Seja $L$ uma linguagem livre de contexto sobre um alfabeto $\Sigma$ . Seja $A$ um autômato de pushdown que reconheça $L$ , com o alfabeto de pilha $\Gamma$ . Nós denotamos por $|A|$o número de estados de $A$ . Sem perda de generalidade, podemos assumir que as transições de $A$ exibem o símbolo mais alto da pilha e não pressionam nenhum símbolo na pilha ou pressionam na pilha o símbolo superior anterior e algum outro símbolo.

Definimose o comprimento do bombeamento e mostrará que todos os tais tem uma decomposição na forma , de forma que , e .p = | Um | ( | Γ | + 1 ) p ′ w ∈ L | w | > p w = u v x y z | v x y | ≤ p | v y | ≥ 1 ∀ n ≥ 0 , u v n$p' = |A|^2 |\Gamma|$$p = |A| (|\Gamma|+1)^{p'}$$w \in L$$|w| > p$$w = u v x y z$$|vxy| \leq p$$|vy| \geq 1$$\forall n \geq 0, u v^n x y^n z \in L$

Deixe tal que . Seja um caminho aceitável de comprimento mínimo para (representado como uma sequência de transições de ), denotamos seu comprimento por. Podemos definir, para, o tamanho da pilha na posição do caminho de aceitação. Para todo , definimos um nível acima de como um conjunto de três índices com modo que:| w | > p π w A | pi | 0 ≤ i < | pi | s i i N > 0 N π i , j , k 0 ≤ i < j < k ≤ $w \in L$$|w| > p$$\pi$$w$$A$$|\pi|$$0 \leq i < |\pi|$$s_i$$i$$N > 0$$N$$\pi$$i, j, k$$0 \leq i < j < k \leq p$

1. $s_i = s_k, s_j = s_i + N$
2. para todos tais que ,i ≤ n ≤ j s i ≤ s n ≤ s $n$$i \leq n \leq j$$s_i \leq s_n \leq s_j$
3. para todos os tais que , .j ≤ n ≤ k s k ≤ s n ≤ s $n$$j \leq n \leq k$$s_k \leq s_n \leq s_k$

(Para um exemplo disso, veja a figura do caso 2 abaixo, que ilustra um nível ).$N$

Definimos o nível de como o máximo, de modo que tenha um nívelEssa definição é motivada pela seguinte propriedade: se o tamanho da pilha ao longo de um caminho se tornar maior que seu nível , os símbolos da pilha com mais de níveis de profundidade nunca serão exibidos. Agora, distinguiremos dois casos: , caso em que sabemos que a mesma configuração para o estado do autômato e os símbolos mais altos da pilha são encontrados duas vezes nas primeiras etapas de , ouπ N π N π l l l < p « l p + 1 π l ≥ p ' v $l$$\pi$$N$$\pi$$N$$\pi$$l$$l$$l < p'$$l$$p+1$$\pi$$l \geq p'$, e deve haver uma posição de empilhamento e desempilhamento que possa ser repetida um número arbitrário de vezes, a partir da qual construímos e .$v$$y$

Caso 1. . Definimos as configurações de como os pares de um estado de e uma sequência de símbolos de pilha (onde pilhas de tamanho menor que com são representadas preenchendo-as com com um símbolo em branco especial, e é por isso que usamos ao definir ). Por definição, existem essas configurações, que é menor que . Portanto, nas primeiras etapas de , a mesma configuração é encontrada duas vezes em duas posições diferentes, digamos . Denotar por A A l l l | y- | + 1 p | Um | ( | Y | + 1 ) L p p + 1 π i < j i j w i $l < p'$$A$$A$$l$$l$$l$$|\Gamma| + 1$$p$$|A| (|\Gamma| + 1)^l$$p$$p+1$$\pi$$i < j$$\widehat{i}$ (resp. ) a posição da última letra de lida na etapa (resp. ) de . Temos . Portanto, podemos fatorar com , , , . (Por , denotamos as letras de de inclusive para exclusivo.) Por construção, .$\widehat{j}$$w$$i$$j$i ≤ j w = u v x y z y z = ε u = $\pi$$\widehat{i} \leq \widehat{j}$$w = u v x y z$$y z = \epsilon$ v= w i ⋯ j x= w j ⋯ | w | w x ⋯ y wxy | vxy | ≤$u = w_{0 \cdots \widehat{i}}$$v = w_{\widehat{i} \cdots \widehat{j}}$$x = w_{\widehat{j} \cdots |w|}$$w_{x \cdots y}$$w$$x$$y$$|vxy| \leq p$

Também temos que mostrar que , mas isso decorre de nossa observação acima: símbolos de pilha mais profundos do que nunca são exibidos, portanto não há como distinguir configurações que são iguais de acordo com nossa definição e um caminho de aceitação para é construído a partir de repetindo as etapas entre e , vezes.l u v n x w i j $\forall n \geq 0, u v^n x y^n z = u v^n x \in L$$l$$u v^n x$$w$$i$$j$$n$

Por fim, também temos , porque se , então, porque temos a mesma configuração nas etapas e em , seria um caminho aceitável para , contradizendo a minimaidade de .v = ϵ i j π π ′ = π 0 ⋯ i π j ⋯ | pi | w $|v| > 0$$v = \epsilon$$i$$j$$\pi$$\pi' = \pi_{0 \cdots i} \pi_{j \cdots |\pi|}$$w$$\pi$

(Observe que esse caso equivale a aplicar o lema de bombeamento para idiomas regulares, codificando os símbolos pilha mais altos no estado de autômato, o que é adequado porque é pequeno o suficiente para garantir que seja maior que o número de estados desse autômato O principal truque é que devemos ajustar as transições .)l | w | $l$$l$$|w|$$\epsilon$

Caso 2. . Seja um nível . Para qualquer tamanho de pilha , , associamos o último push e o primeiro pop . Por definição, e . Aqui está uma ilustração desta construção. Para simplificar o desenho, omito a distinção entre as posições do caminho e as posições das palavras que teremos que fazer mais tarde. i , j , k p ′ h s i ≤ h ≤ s j lp ( h ) = max ( { y ≤ j | s y = h } ) fp ( h ) = min ( { y ≥ j | s y = h } ) i ≤ lp ( $l \geq p'$$i, j, k$$p'$$h$$s_i \leq h \leq s_j$ $\lp(h) = \max(\{y \leq j | s_y = h\})$ $\fp(h) = \min(\{y \geq j | s_y = h\})$j ≤ fp ( h ) ≤ $i \leq \lp(h) \leq j$$j \leq \fp(h) \leq k$

Dizemos que o estado completo de um tamanho de pilha é o triplo formado por:$h$

1. o estado do autômato na posição$\lp(h)$
2. o símbolo da pilha mais alta na posição$\lp(h)$
3. o estado do autômato na posição$\fp(h)$

Existem possíveis estados completos e tamanhos de pilha entre e , portanto, pelo princípio pidgeonhole, existem dois tamanhos de pilha com modo que os estados completos a e são o mesmo. Como no caso 1, definimos por , , e as posições das últimas letras de lidas nas posições correspondentes em . Nós ondep ′ + 1 s i s j g , h s i ≤ g < h ≤ s j g h ^ lp ( g ) ^ lp ( h ) ^ fp ( h ) ^ fp ( g ) w π w = u v x y z u = W 0 ⋯ ^ lp $p'$$p' + 1$$s_i$$s_j$$g, h$$s_i \leq g < h \leq s_j$$g$$h$$\lpp(g)$$\lpp(h)$$\fpp(h)$$\fpp(g)$$w$$\pi$$w = u v x y z$ v= w ^ lp ( g ) ⋯ ^ lp ( h ) x= w ^ lp ( h ) ⋯ ^ fp ( h ) Y= w ^ fp ( h ) ⋯ ^ fp ( g $u = w_{0 \cdots \lpp(g)}$, , , e .$v = w_{\lpp(g) \cdots \lpp(h)}$$x = w_{\lpp(h) \cdots \fpp(h)}$$y = w_{\fpp(h) \cdots \fpp(g)}$$z = w_{\fpp(g) \cdots |w|}$

Essa fatoração garante que (porque pela nossa definição de níveis).k ≤ $|vxy| \leq p$$k \leq p$

Nós também temos que mostrar que . Para fazer isso, observe que cada vez que repetimos , começamos do mesmo estado e do mesmo topo da pilha e não aparecemos abaixo da nossa posição atual na pilha (caso contrário, teríamos que pressionar novamente na posição atual, violando a máxima de ), para que possamos seguir o mesmo caminho em e pressionar a mesma sequência de símbolos na pilha. Pela máxima de e a mínima de , durante a leitura de , não aparece abaixo da nossa posição atual na pilha; portanto, o caminho seguido no autômato é o mesmo, independentemente do número de vezes que repetimosv lp ( g ) A lp ( h ) fp ( h ) x v w v v v vp ( g ) A u v n x y n z $\forall n \geq 0, u v^n x y^n z \in L$$v$$\lp(g)$$A$$\lp(h)$$\fp(h)$$x$$v$. Agora, se repetimos quantas vezes repetimos , desde que começamos do mesmo estado, desde que empurramos a mesma sequência de símbolos na pilha com nossas repetições de , e como não exibimos mais do que tem empilhados pelo mínimo de , podemos seguir o mesmo caminho em e exibir a mesma sequência de símbolos da pilha. Portanto, um caminho de aceitação de pode ser construído a partir do caminho de aceitação para .$w$$v$$v$$v$$\fp(g)$$A$$u v^n x y^n z$$w$

Finalmente, também temos , porque, tal como no caso 1, se e , podemos construir um caminho de aceitar mais curto para removendo e .v = ε y = ε w π lp ( g ) ⋯ lp ( h ) π fp ( h ) ⋯ fp ( g $|vy| > 1$$v = \epsilon$$y = \epsilon$$w$$\pi_{\lp(g)\cdots\lp(h)}$$\pi_{\fp(h)\cdots\fp(g)}$

Portanto, temos uma fatoração adequada em ambos os casos, e o resultado é comprovado.

(O crédito é para Marc Jeanmougin por me ajudar com essa prova.)

Sim, é possível. Poderíamos usar a noção de configurações de superfície; eles foram introduzidos por Cook há muito tempo. Com isso, deve ser bem fácil obter uma versão do lema de bombeamento.

Quanto às configurações de superfície, quase todo artigo sobre o LogCFL deve conter sua definição. Aqui está um artigo recente e aqui está uma tese

Talvez alguém mais enérgico possa explicar os detalhes!

Para completar, uma referência a uma prova nessa direção.

A.Ehrenfeucht, HJHoogeboom, G.Rozenberg: Sistemas de pares coordenados. I: Palavras dyck e bombeamento clássico RAIRO, Inf. Théor. Appl. 20, 405-424 (1986)

Abstrato. A noção de um sistema de pares coordenados [...] corresponde muito de perto (é outra formulação) à noção de autômato push-down. Neste artigo, investigamos a [...] possibilidade de obter propriedades de bombeamento de linguagens livres de contexto através da análise de cálculos em sistemas cp. Para isso, analisamos a estrutura combinatória das palavras Dyck. As propriedades das palavras Dyck que investigamos derivam da análise combinatória de cálculos em sistemas cp. Demonstramos como essa correspondência pode ser usada para provar o lema clássico de bombeamento.

Ao discutir esse problema com Géraud Sénizergues, ele me apontou este artigo de Sakarovitch que já comprova esse resultado. A prova parece remontar a este artigo de Ogden.

Referências:

• Sakarovitch, Jacques. Sur une propriété d'itération des languages ​​algébriques déterministes. (Francês. Resumo em inglês). Matemática. Teoria de Sistemas 14 (1981), n. 3, 247-288.
• William F. Ogden. 1969. Teoremas de intercalação para linguagens de pilha. Em Anais do primeiro simpósio anual da ACM sobre Teoria da Computação (STOC '69).