A citação que mostra menores é menor topológica para gráficos subcúbicos

Se é um gráfico com o máximo de grau 3 e é um menor de , então é um menor topológica de . $G$ $H$ $G$ $H$

A Wikipedia cita este resultado da "Teoria dos Gráficos" de Diestel. Ele está listado como Prop 1.7.4 na versão mais recente do livro. O livro carece de prova ou citação.

O paradeiro é conhecido por uma prova (original) disso?

Além disso, existe uma referência que comprove que se é um caminho ou uma subdivisão de uma garra e é menor de então é um subgrafo de ? É mencionado aqui brevemente, mas falta referência. $G$ $H$ $G$ $H$

— Eli
fonte

O livro está disponível em diestel-graph-theory.com

— Alexander Langer

Obrigado Alexander. Essa versão do livro não fornece referência ou prova da proposição, você sabe se a edição completa tem uma ou outra fonte para ela?

— Eli

Lembro-me de ter procurado uma citação para o segundo fato que você declarou, mas não encontrei nada. A melhor citação que conheço para a primeira afirmação é o livro de Diestel, que não prova a afirmação. Vou esperar para ver se alguém encontra uma citação. Caso contrário, postarei uma prova como resposta.

— Robin Kothari

@ Robin, neste ponto, se você postar uma prova, isso é bom o suficiente para mim. Existe uma maneira apropriada de atribuir que esse resultado seja usado em algum lugar? Não estou familiarizado com a política de troca de pilhas ou com a prática padrão.

— Eli

Na verdade, a citação já foi discutida e resolvida aqui: meta.cstheory.stackexchange.com/questions/352/…

— Aaron Sterling

Se é um gráfico com o máximo de grau 3 e é um menor de , então é um menor topológica de . $G$ $H$ $G$ $H$

Como é um menor de , pode ser obtido a partir de excluindo arestas, vértices isolados e realizando contrações de arestas. Também é fácil mostrar que podemos insistir que as operações do subgráfico sejam feitas primeiro, ou seja, podemos primeiro executar todas as exclusões de arestas e vértices e, em seguida, executar todas as contrações de arestas. Além disso, vamos restringir a definição de "contração da aresta" para impedir a contratação de arestas onde um dos vértices possui o grau 1. Contratar uma aresta é o mesmo que excluí-la, portanto isso não altera a definição de menores de gráfico. $G$ $H$ $G$ $H$

$H'$ $H$ $H'$ $G$ $H'$ $G$

$G$ $H'$ $H'$

$H'$ $G$

$H_1$ $H_2$ $H_2$ $H_1$ $H'$ $G$ $G$ $H'$ $H$

$G$ $H$ $G$ $H$

$G$ $H$ $H$ $H$ $G$

Também precisávamos desse resultado para um artigo uma vez, portanto incluímos uma breve prova em nosso artigo. Você pode encontrar o resultado na complexidade da consulta Quantum das propriedades de gráfico menor fechado . Ele é mencionado na página 13. No entanto, esse fato está oculto na prova de outra coisa e não é declarado explicitamente como um teorema.

O que também é interessante é que há um inverso nesse teorema:

$G$ $G$ $G$

— Robin Kothari
fonte

Obrigado. Se você encontrar uma citação publicada para esses resultados, eu ainda gostaria, mas isso é estelar.

— Eli

Esta resposta agora está em destaque no blog da comunidade.

— Aaron Sterling

Boa resposta, mas acho que sua técnica de proibir as contrações de grau 1 tem um defeito. Por exemplo, considere G = K_4 menos qualquer aresta. A contração ao longo dos dois vértices do grau 3 em G produzirá o gráfico de caminho P_3, com o grau máximo 2. Em vez disso, se você não permitir contrações em uma aresta que seriam equivalentes a alguma exclusão, a prova deve passar. Formalmente, você proíbe qualquer contração entre o vértice x e y se gama (x) \ {y} = gama (y) \ x. É facilmente demonstrado que qualquer contração que não viole essa restrição resultará em um novo vértice de grau não diminuído.

— usar o seguinte

@ user2237635: Você está certo, obrigado.

— Robin Kothari