Reduções do livro.


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Isso é parecido com " Algoritmos do livro ". Embora as reduções também sejam algoritmos, achei duvidoso que se pensasse em uma redução na resposta à pergunta sobre algoritmos do livro. Daí uma consulta separada!

Reduções de todos os tipos são bem-vindas.

Começarei com a redução realmente simples da cobertura de vértices para multicut nas estrelas. A redução quase se sugere assim que o problema de origem é identificado (antes do qual eu acharia difícil acreditar que o problema seria difícil para as estrelas). Essa redução envolve a construção de uma estrela com folhas e a associação de um par de terminais a todas as arestas do gráfico, e é "fácil de ver" que ela funciona. Vou atualizar isso com um link para uma referência, quando eu encontrar um.n

Aqueles que estão perdendo o contexto do livro podem querer examinar a pergunta sobre algoritmos do livro .

Atualização: Percebo que não estava totalmente claro o que qualifica como uma redução do livro. Eu acho esse problema um pouco complicado, então confesso que me esquivei deliberadamente do problema deslizando uma referência ao outro segmento :)

Então, deixe-me descrever o que eu tinha em mente e suponho que não é preciso dizer - YMMV a esse respeito. Pretendo uma analogia direta com a intenção original de Provas do Livro. Vi reduções que são terrivelmente inteligentes e me deixo boquiaberto ao ver como essa sequência de pensamentos pode ter ocorrido a alguém. Embora essas reduções me deixem com um senso definido de admiração, esses não são os exemplos que pretendo coletar neste contexto.

O que estou procurando são reduções que são descritas sem muita dificuldade e que talvez sejam levemente surpreendentes, pelo motivo de serem fáceis de entender, mas não fáceis de apresentar. Se você estima que a redução em questão exigirá uma palestra para cobrir, provavelmente ela não se encaixa na conta, embora eu tenha certeza de que pode haver exceções em que a ideia de alto nível é elegante e o diabo está nos detalhes (para o registro, não tenho certeza se consigo pensar em algum).

O exemplo que dei foi deliberadamente simples e, espero, um pouco - se não perfeitamente - ilustrativo dessas características. A primeira vez que ouvi falar sobre corte múltiplo foi em uma sala de aula, e nosso instrutor começou dizendo que não é apenas NP-difícil em geral, é NP-difícil mesmo quando restrito a árvores ... {pausa dramática} de altura um . Lembro-me de não poder provar imediatamente, embora pareça óbvio em retrospecto.

Suponho que óbvio, retrospectivamente, descreva de perto o que estou procurando. Não tenho certeza se isso tem algo a ver com a complexidade da descrição - talvez haja situações em que algo aparentemente obscuro possa ser classificado como elegante - fique à vontade para apresentar seus exemplos (exceções?), Mas eu realmente apreciaria uma justificativa. Dado que, depois de algum momento, isso é uma questão de gosto, você certamente deve se sentir à vontade para encontrar o que considero insanamente complexo, perfeitamente bonito. Estou ansioso para ver uma variedade de exemplos!


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Wiki da comunidade.
Dave Clarke

@ supercooldave: Obrigado - suponho que deveria ter feito isso ao postar. Minha supervisão!
Neeldhara

@Jukka: Obrigado! Eu pensei que era o que a edição da supercooldave fazia. Agora percebo que a edição adicionou uma tag. É agora um CW :)
Neeldhara

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Talvez o pôster deva esclarecer o que se entende por "do livro". Eu pensaria que (em analogia com as provas do livro) os algoritmos do livro são todos curtos, simples de declarar, elegantes e funcionam quase magicamente. No entanto, o outro segmento tem muitas postagens com algoritmos incrivelmente complexos que não atendem a nenhuma das propriedades que eu mencionei.
Robin Kothari

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@ Robin: As percepções diferem. Não encontrei nenhuma das provas de "Provas do LIVRO" simples (bem, quase nenhuma). E já a segunda prova (postulado de Bertrand) exige várias páginas, portanto também não são curtas. - Por outro lado, acho muitos dos algoritmos no segmento relacionado bastante simples (em retrospectiva, obviamente), e não há como negar que eles são curtos.
Konrad Rudolph

Respostas:


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Rabin mostra a via de mão única de (x ^ 2 mod N = pq) sem a fatoração de N por uma redução mostrando que se você pode pegar o módulo de raízes quadradas N = pq, então você pode fatorar N.


Uma explicação dessa redução (se não me engano) pode ser encontrada na página 7 de "Segurança comprovável de sistemas de criptografia: uma pesquisa". Aqui está um link: cs.yale.edu/publications/techreports/tr288.pdf
Neeldhara

9

No aprendizado de máquina, há muitas reduções interessantes. aqui estão alguns exemplos:

  • classificação multiclasse a classificação binária ( link ) - pode-se resolver um problema de escolha entre muitas classes, resolvendo problemas mais fáceis de escolher entre duas.
  • aprendizado forte a aprendizado fraco ( aumento ) - é possível obter taxas de erro arbitrariamente baixas, dada a capacidade de obter um pouco melhor do que aleatoriamente.
  • classificação para classificação ( link )
  • perda quadrado a classificação ( sondagem ) - pode-se estimar probabilidades de associação de classe, utilizando um classificador com uma pequena taxa de erro.

Um tutorial de Alina Beygelzimer, John Langford e Bianca Zadrozny aborda alguns outros.


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Obrigado! Isso parece muito promissor e também inteiramente novo para mim. Eu deveria estar gastando algum tempo nesse tutorial e nas outras referências também.
Neeldhara 01/09/10

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Teorema de Cook-Levin

Qualquer problema no NP pode ser reduzido no polytime por uma máquina determinante de turing para SAT. Para referência, consulte 1 .


8

Multiplicação de números inteiros para transformar Fourier rapidamente!


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e o corolário: sequência correspondente às FFTs!
Suresh Venkat

6

Teorema de Rice

Um dos meus favoritos. Reduz o problema de parada a qualquer conjunto de índices (ou é complemento). Veja, por exemplo, Sipser, problema 5.28.


1
A generalização de Rice-Shapiro é ainda mais bonita. Veja a exposição de Cutland: books.google.com/… )
Diego de Estrada


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3SAT a 3COL

Usando gadgets para reduzir o 3SAT ao problema de decidir se um gráfico pode ser colorido com três cores. Para referência, consulte 1 .


1
A redução usando NAESAT em vez de 3SAT (no livro de Papadimitriou) é mais direta.
Diego de Estrada

3

No sentido de dizer - oh, isso era simples - em retrospecto:

reduzindo a classificação a um problema convexo do casco.


2

COBERTURA EXATA POR 3 CONJUNTOS PARA O SUBSET

você={1,2,...,3m}S1,...,Snvocêmvocê

W1,...,WnKK

SEu{0 0,1}3mn+1SEuWEu=jSEu(n+1)3m-jK=j=0 03m-1(n+1)j

(Minha fonte era o livro de Papadimitriou.)

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