Um espaço topológico relacionado ao SAT: é compacto?

O problema da satisfação é, obviamente, um problema fundamental no CS teórico. Eu estava brincando com uma versão do problema com infinitas variáveis. $\newcommand{\sat}{\mathrm{sat}} \newcommand{\unsat}{\mathrm{unsat}}$

Configuração básica. Seja $X$ um conjunto de variáveis não vazio e possivelmente infinito . Um literal é uma variável $x \in X$ ou sua negação $\neg x$ . Uma cláusula $c$ é uma disjunção do número finito de literais . Finalmente, definimos uma fórmula $F$ como um conjunto de cláusulas .

Uma atribuição de $X$ é uma função $\sigma : X \to \{0,1\}$ . Não definirei explicitamente a condição para quando uma atribuição $\sigma$ satisfizer uma cláusula; é um pouco complicado e é o mesmo que no SAT padrão. Finalmente, uma atribuição satisfaz uma fórmula se satisfizer todas as cláusulas constituintes. Seja $\sat(F)$ o conjunto de atribuições satisfatórias para $F$ , e $\unsat(F)$ seja o complemento de $\sat(F)$ .

Um espaço topológico.

Nosso objetivo é dotar o espaço de todas as atribuições de $X$ , chamado $\Sigma$ , com uma estrutura topológica . Nossos conjuntos fechados são da forma $\sat(F)$ onde $F$ é uma fórmula. Podemos verificar se essa é realmente uma topologia:

• A fórmula vazia $\emptyset$ que não contém cláusulas é satisfeita por todas as atribuições; assim $\Sigma$ está fechado.
• A fórmula $\{ x, \neg x \}$ para qualquer $x \in X$ é uma contradição. Então $\emptyset$ está fechado.
• Fechamento sob interseção arbitrária. Suponha $F_{i}$ é uma fórmula para cada $i \in I$ . Então $\sat \left(\bigcup_{i \in I} F_i\right) = \bigcap_{i \in I} \sat(F_i)$ .
• Encerramento sob união finita. Suponha que $F$ e $G$ sejam duas fórmulas e defina $$F \vee G := \{ c \vee d \,:\, c \in F, d \in G \}.$$ Então $\sat(F \vee G) = \sat(F) \cup \sat(G)$ . Isso precisa de um argumento, mas vou pular isso.

Chame essa topologia $\mathcal T$ , a "topologia de satisfação" (!) No $\Sigma$ . Obviamente, os conjuntos abertos dessa topologia têm o formato $\unsat(F)$ . Além disso, observei que a recolha de conjuntos abertos

Compactar? Eu sinto que essa é uma maneira interessante, se não terrivelmente útil, de ver as coisas. Quero entender se esse espaço topológico possui propriedades interessantes tradicionais como compacidade, conectividade etc. Neste post, vamos nos restringir à compacidade:

Seja uma coleção infinita de variáveis. ¹ Is compacto sob ?Σ $X$$\Sigma$$\mathcal T$

Pode-se provar o seguinte

Proposição. é compacto e se apenas para todas as fórmulas insatisfatível , existe uma subfórmula finito insatisfatível .$\mathcal T$$F$$\{ c_1, c_2, \ldots, c_m \} \subseteq F$

(Exercício não tão difícil!) Após vários dias de reflexão, não tenho muito progresso em responder a essa pergunta. Também não tenho fortes evidências a favor ou contra a compacidade. Você pode sugerir alguma abordagem?

Finalmente, como uma pergunta bônus:

Essa estrutura já foi estudada antes?

¹ A restrição para contável é apenas por simplicidade; também parece o próximo passo natural do número finito de variáveis.$X$

O que você está fazendo é derivar uma representação topológica de uma álgebra booleana. O estudo das representações das álgebras booleanas remonta pelo menos a Lindenbaum e Tarski, que provaram (em 1925, eu acho) que as álgebras booleanas atômicas completas são isomórficas para as redes de conjuntos de potências.

$x_1, x_1 \land x_2, \ldots$

Teorema da representação de Stone para álgebras booleanas Toda álgebra booleana é isomórfica à estrutura dos subconjuntos de clopen de um espaço topológico.

$\mathit{true}$

O espaço Stone de uma álgebra booleana é um espaço Hausdorff compacto e totalmente desconectado.

Houve vários resultados que ampliam e generalizam a representação de Stone em várias direções. Uma questão natural é perguntar se outras famílias de treliças têm essas representações. Os resultados de Stone também se aplicam a redes distributivas. Representações topológicas para redes arbitrárias foram dadas por Alasdair Urquhart em 1978. As redes distributivas desfrutam de maior diversidade na estrutura, em comparação com as álgebras booleanas e são de grande interesse. Uma representação diferente para o caso distributivo foi dada por Hilary Priestley em 1970, usando a idéia de um espaço topológico ordenado . Em vez de representações baseadas em conjuntos, podemos encontrar representações e topologias baseadas em posets.

As construções nestes documentos têm uma propriedade notável. A construção de Stone mapeia não apenas álgebras booleanas para espaços topológicos: relações estruturais relacionadas a álgebras booleanas se traduzem em propriedades estruturais entre as topologias resultantes. É uma dualidade entre categorias. Toda a gama de resultados é chamada Dualidade de Pedra . Informalmente, as dualidades nos dão traduções precisas entre os universos matemáticos: o mundo combinatório dos conjuntos, o mundo algébrico das redes, o mundo espacial da topologia e o mundo dedutivo da lógica. Aqui estão alguns pontos de partida que podem ajudar.

1. O capítulo 11 da Introdução a redes e ordem , de Davey e Priestley, aborda o teorema de Stone.
2. Os slides de Matthew Gwynne cobrem o teorema e dão uma prova de compacidade. Matthew (nos comentários) também sugere Introdução às álgebras booleanas por Paul Halmos.
3. Ao passar da lógica proposicional para a lógica modal, a álgebra booleana é estendida com um operador de preservação de junção e a topologia com um interior. O artigo de Jónsson e Tarski, de 1952, Álgebras Booleanas com Operadores é extremamente legível e consistente com a notação moderna.
4. O capítulo 5 da lógica modal de Blackburn, de Rijke e Venema aborda o teorema de Stone e sua extensão às álgebras booleanas com operadores.
5. Stone Spaces, de Peter Johnstone, analisa esses resultados para vários outros tipos de álgebras.