Qual é o objetivo da conversão no cálculo lambda?

Eu acho que não estou entendendo isso, mas -conversion me parece uma conversão que não faz nada, um caso especial de -conversion em que o resultado é apenas o termo na abstração lambda porque não há nada para fazer, uma espécie de conversão inútil .β β $\eta$$\beta$$\beta$$\beta$

Portanto, talvez -conversion seja algo realmente profundo e diferente disso, mas, se for, eu não entendo e espero que você possa me ajudar.$\eta$

(Obrigado e desculpe, eu sei que isso faz parte dos princípios básicos do cálculo lambda)

Atualização [20/09/2011]: ampliei o parágrafo sobre -expansion e extensionality. Agradecemos a Anton Salikhmetov por apontar uma boa referência.$\eta$

$\eta$ -conversion é um caso especial de - conversão apenas no caso especial quando é uma abstração, por exemplo, se entãoMas e se for uma variável ou um aplicativo que não se reduz a uma abstração?$(\lambda x . f x) = f$$\beta$$f$$f = \lambda y . y y$

$$(\lambda x . f x) = (\lambda x . (\lambda y . y y) x) =_\beta (\lambda x . x x) =_\alpha f.$$ $f$

De certa forma, -rule é como um tipo especial de extensionalidade, mas precisamos ter um pouco de cuidado sobre como isso é afirmado. Podemos afirmar a extensionalidade como:$\eta$

1. para todos -Termos e , se então , ouM N M x = N x M = $\lambda$$M$$N$$M x = N x$$M = N$
2. para todos os se então .∀ x . f x = g x f = $f, g$$\forall x . f x = g x$$f = g$

O primeiro é uma meta-declaração sobre os termos do -calculus. Nele aparece como uma variável formal, isto é, faz parte do -calculus. Isso pode ser provado a partir de -rules, veja, por exemplo, o Teorema 2.1.29 em "Lambda Calculus: its Syntax and Semantics" de Barendregt (1985). Pode ser entendido como uma declaração sobre todas as funções definíveis , isto é, aquelas que são denotações de -terms.x λ β η $\lambda$$x$$\lambda$$\beta\eta$$\lambda$

A segunda afirmação é como os matemáticos geralmente entendem afirmações matemáticas. A teoria do -calculus descreve um certo tipo de estruturas, vamos chamá-los de " -models ". Um -model pode ser incontável, portanto não há garantia de que cada elemento corresponda a um -term (assim como existem mais números reais do que expressões que descrevem reais). Extensionalidade então diz: se tomarmos quaisquer duas coisas e em um -model, se para todo no modelo, então . Agora, mesmo que o modelo satisfaça aλ λ λ f g λ f x = g x x f = g $\lambda$$\lambda$$\lambda$$\lambda$$f$$g$$\lambda$$f x = g x$$x$$f = g$$\eta$ regra, ele não precisa satisfazer a extensionalidade nesse sentido. (Referência necessária aqui, e acho que precisamos ter cuidado com a interpretação da igualdade.)

Existem várias maneiras pelas quais podemos motivar conversões - e . Escolherei aleatoriamente a teoria da categoria, disfarçada como -calculus, e alguém mais pode explicar outras razões.η $\beta$$\eta$$\lambda$

Vamos considerar o -calculus digitado (porque é menos confuso, mas mais ou menos o mesmo raciocínio funciona para o -calculus não digitado). Uma das leis básicas que deve ser mantida é a lei exponencial(Estou usando as notações e intercambiável, escolhendo o que parecer melhor.) O que os isomorfismos e parecem escritos em -calculus? Presumivelmente, eles seriam eX C Uma × B ≅ ( C B ) Uma . Um → B B A i : C Uma × B → ( C B ) Um j : ( C B ) Um → C Uma × B λ i = λ f : C A x B . λ um : A . λ b $\lambda$$\lambda$

$$C^{A \times B} \cong (C^B)^A.$$ $A \to B$$B^A$$i : C^{A \times B} \to (C^B)^A$$j : (C^B)^A \to C^{A \times B}$$\lambda$J = λ g : ( C B ) Uma . λ p : Um × B . g ( π 1 p ) ( π 2 p ) . p p π 1 ⟨ um , b ⟩ = um π 2 ⟨ um , b ⟩ = b g : $$i = \lambda f : C^{A \times B} . \lambda a : A . \lambda b : B . f \langle a, b \rangle$$ $$j = \lambda g : (C^B)^A . \lambda p : A \times B . g (\pi_1 p) (\pi_2 p).$$ Um breve cálculo com um par de -reductions (incluindo o -reductions e para produtos) nos que, diz para cada temos Como e são inversos um do outro, esperamos que , mas para provar isso de fato, precisamos usar reduction duas vezes:$\beta$$\beta$$\pi_1 \langle a, b \rangle = a$$\pi_2 \langle a, b \rangle = b$ i ( j g ) = λ um : Uma . λ b : B . g a b . i j i ( j g ) = g η i ( j g ) = ( λ um : Um . λ b : B . g um b ) = η ( λ um $g : (C^B)^A$ $$i (j g) = \lambda a : A . \lambda b : B . g a b.$$ $i$$j$$i (j g) = g$$\eta$ $$i(j g) = (\lambda a : A . \lambda b : B . g a b) =_\eta (\lambda a : A . g a) =_\eta g.$$ Portanto, esse é um motivo para ter reduções. Exercício: que é necessário -rule para mostrar que ?η j ( i f ) = $\eta$$\eta$$j (i f) = f$

Para responder a essa pergunta, podemos fornecer a seguinte citação da monografia correspondente “Cálculo Lambda. Sua sintaxe e semântica “(Barendregt, 1981):

O objetivo da introdução de reduction é fornecer um axioma para declarações prováveis ​​na extensão -calculus [a teoria , em que representa a regra ], de tal forma que teria propriedades Church-Rosser.λ λ + ext ext M x = N x ⇒ M = $\beta\eta$$\lambda$$\lambda + \text{ext}$$\text{ext}$$M x = N x \Rightarrow M = N$

Proposição. .$M =_{\beta\eta} N \Leftrightarrow \lambda\eta \vdash M = N \Leftrightarrow \lambda + \text{ext} \vdash M = N$

[Sua prova é baseada no seguinte teorema.]

Teorema (de Curry). As teorias e são equivalentes… [Sua prova consiste em duas partes: e vice-versa.]λ η ( ext ) ⇒ ( η $\lambda + \text{ext}$$\lambda\eta$$(\text{ext}) \Rightarrow (\eta)$

Uma das razões para considerar o sistema é que ele possui uma certa propriedade de completude ... [Nomeadamente, no sentido do seguinte teorema.]$\lambda\eta$

Teorema. Permita que e tenham uma forma normal. Então, ou é inconsistente…N λ η ⊢ M = N λ η + M = $M$$N$$\lambda\eta \vdash M = N$$\lambda\eta + M = N$

As teorias HP-complete [depois de Hilbert-Post] correspondem a teorias consistentes máximas na teoria dos modelos para a lógica de primeira ordem.

Apenas para acrescentar à muito boa resposta de Andrej: a teoria das regras de redução sem tipo -calculus com e satisfaz algumas propriedades muito boas:β $\lambda$$\beta$$\eta$

• É consistente no sentido de que existem dois termos, por exemplo, e que não são equivalentes. Isso é uma conseqüência do teorema da confluência para a redução .λ x y . y β η β $\lambda x y.x$$\lambda x y.y$ $\beta\eta$$\beta\eta$

• É uma teoria consistente máxima , no seguinte sentido: se é uma relação de equivalência em termos tais que:$\iota$
  

  1. É fechado por congruência: etc.$u\ =_\iota\ v \Rightarrow t\ u\ =_\iota\ t\ v$

  2. É equivale 2 não equivalente termos$\beta\eta$ que são formas normais : não existe e na forma normal de tal modo que e .$t$$u$$t=_\iota u$$t\neq_{\beta\eta}u$

Então a teoria é inconsistente : para cada termo , na forma normal, .$t$$u$$t=_{\beta\eta\iota}u$

Isso é uma consequência do teorema de Böhm.

$\eta$

$=_{\beta \eta}$$\rightarrow_{\beta\eta}$$M=N$$\lambda x.M = \lambda x.N$$=_{\beta}$

$=_{\beta}$$=_{\beta\eta}$$\lambda x. Mx = M$$Mx=Nx$$M=N$