Dureza do número cromático fracionário aproximado em gráficos de graus delimitados

É extremamente difícil aproximar o número cromático fracionário em gráficos de graus limitados?

Sim.

Se entendi corretamente, a prova do Teorema 1.6 em Khot (2001) estabelece que é difícil para NP distinguir entre os dois casos a seguir, mesmo se focarmos em gráficos de grau limitado de grau suficientemente alto:

1. Há uma cor .$k$
2. A proporção do número de vértices para o tamanho máximo de um conjunto independente é pelo menos .$k^{\log(k)/25}$

Da perspectiva do número cromático fracionário, esses dois casos são:

1. O número cromático fracionário é no máximo .$k$
2. O número cromático fracionário é pelo menos .$k^{\log(k)/25}$

Agora devemos lembrar que precisamos de graus suficientemente altos (em função de ). Mas, tanto quanto posso ver, a prova possui, por exemplo, o seguinte corolário conveniente que já pode ser suficiente para seus propósitos:$k$

• Dada qualquer constante , existem constantes Δ e c de modo que o seguinte problema em NP-rígido: dado um gráfico G de grau máximo Δ , decida se o número cromático fracionário de G é no máximo c ou pelo menos α c .$\alpha$$\Delta$$c$$G$$\Delta$$G$$c$$\alpha c$

É claro que isso já implica que não existe PTAS, a menos que P = NP.