Gráfico regular de alta circunferência com uma ordem total "localmente uniforme" nos nós

Definições

Seja e sejam d , r e g inteiros positivos (com g > 2 r + 1 ).$\epsilon > 0$$d$$r$$g$$g > 2r+1$

Seja um gráfico finito simples, d- regular, sem direção e finito, com perímetro pelo menos g .$G = (V,E)$$d$$g$

Deixe ser uma ordem total em V .$\le$$V$

Para cada , deixar V v ⊆ V consistem dos nós que estão dentro da distância r do v em L (o caminho mais curto de v para qualquer u ∈ V v tem no máximo r arestas), e deixá- L v ser o subgráfico de G induzido por V v . Lembre-se de que assumimos que G tem uma circunferência alta; portanto G v é uma árvore. Seja ≤ v a restrição de ≤ a$v \in V$$V_v \subseteq V$$r$$v$$G$$v$$u \in V_v$$r$$G_v$$G$$V_v$$G$$G_v$$\le_v$$\le$ .$V_v$

Dizemos que uma aresta é boa se ( G u , ≤ u ) e ( G v , ≤ v ) são isomórficas. Ou seja, existe uma bijeção f : V u → V v que preserva adjacências ( { x , y } ∈ E iff { f ( x ) , f ( y $\{u,v\} \in E$$(G_u,\le_u)$$(G_v,\le_v)$$f\colon V_u \to V_v$$\{x,y\} \in E$ ) e ordem ( x ≤ y se f ( x ) ≤ f ( y ) ). Caso contrário, uma vantagem éruim.$\{f(x),f(y)\} \in E$$x \le y$$f(x) \le f(y)$

Dizemos que é ε -boa se há pelo menos ( 1 - ε ) | E | boas arestas.$(G,\le)$$\epsilon$$(1-\epsilon)|E|$

Questão

Seja . Existe um par ϵ-bom ( G , ≤ ) para qualquer ϵ > 0 e qualquer r e g (com r ≪ g )?$d = 4$$\epsilon$$(G,\le)$$\epsilon > 0$$r$$g$$r \ll g$

Observações:

• Gostaria de saber a resposta para um geral , mas d = 4 é o primeiro caso não trivial.$d$$d = 4$

• O tamanho de não importa, desde que seja finito. Eu não preciso de uma construção de G ; mera existência ou não existência é suficiente.$G$$G$

Exemplos

• Se , a resposta é "sim". Podemos simplesmente pegar um ciclo suficientemente longo e ordenar os nós ao longo do ciclo. Existem algumas arestas ruins perto da aresta que unem o nó maior e o menor, mas todas as outras arestas são boas: para quase todos os nós v , o par ( G v , ≤ v ) é apenas um caminho com 2 nós r + 1 em uma ordem crescente.$d = 2$$v$$(G_v,\le_v)$$2r+1$

• Se , a resposta é "sim". Basta fazer um gráfico regular de alta circunferência.$r = 0$

• Se é suficientemente pequeno, a resposta é "sim" para qualquer mesmo d . Basta pegar um gráfico de grade ( d / 2 ) tridimensional (com os limites contornados para torná-lo d- regular) e ordenar os nós lexicograficamente por suas coordenadas. Novamente, temos algumas arestas ruins próximas aos limites da grade, mas podemos reduzir arbitrariamente o número de arestas ruins.$g$$d$$(d/2)$$d$

• Se não precisar ser finito, a resposta é "sim" para qualquer d . Uma árvore infinita regular tem uma ordem total, de modo que todas as arestas sejam boas.$G$$d$

• Se é ímpar er é suficientemente grande, a resposta é "não". Em essência, Naor & Stockmeyer (1995) mostram que todo nó é incidente em pelo menos uma borda não boa.$d$$r$

fundo

(Esta seção pode ser pulada com segurança.)

A questão está relacionada aos fundamentos da computação distribuída e, em particular, aos algoritmos locais .

$v$$G$$(G_v,\le_v)$$v$$e = \{u,v\}$$e$$u$$v$$u$$v$

Para muitos problemas clássicos de gráficos, sabe-se que uma ordem total não ajuda (relações muito mais fracas fornecem essencialmente a mesma quantidade de informações de quebra de simetria), mas alguns casos ainda estão abertos - e um resultado geral que cobre o caso de todas as gráficos de circunferência podem ser um avanço.

$(G,\le)$

$V$$v \in V$$\ell(v) \in \mathbb{N}$

$(G,\le)$$\epsilon > 0$$r$$g$$d$

Para detalhes, consulte arXiv: 1201.6675 .