Quantas tautologias existem?

Dado , quantos NDFs com variáveis ​​e cláusulas são tautologia? (ou quantos CNFs são insatisfatórios?)k n m $m, n, k$$k$$n$$m$$k$

A resposta depende $k$ , $m$ , e $n$ . As contagens exatas geralmente não são conhecidas, mas existe um fenômeno de "limite" que, para a maioria das configurações de $k$ , $m$ , $n$ , quase todas as instâncias de $k$ SAT são satisfatórias ou quase todas as instâncias são insatisfatórias. Por exemplo, quando $k=3$ , tem-se, empiricamente, que, quando $m < 4.27 n$ , todos menos um $o(1)$ fracção de 3-SAT casos são satisfeita, e quando $m > 4.27n$ , mas sim um fração é insatisfatória. (Também são conhecidas provas rigorosas dos limites.)$o(1)$

Um ponto de partida é "A ordem assintótica do limiar de k-SAT" .

Amin Coja-Oghlan também trabalhou muito nesses problemas de limiar de satisfação.

Este é um comentário estendido para complementar a resposta de Ryan, que trata dos limites em que o número de cláusulas se torna grande o suficiente para que a instância seja quase certamente insatisfatória. Pode-se também calcular os limites muito maiores em que o número de cláusulas força a insatisfação quando excede a função de .$n$

Observe que alguns problemas técnicos precisam ser resolvidos. Se cláusulas repetidas são contadas em , então m pode ser tão grande quanto desejado, sem alterar n . Isso destruiria a maioria dos relacionamentos entre m e n . Portanto, assuma que m é o número de cláusulas distintas. Precisamos decidir sobre outro detalhe, se as instâncias são codificadas para que a ordem dos literais em uma cláusula ou a ordem das cláusulas em uma instância importem. Suponha que isso não seja importante, portanto, duas instâncias são consideradas equivalentes se contiverem as mesmas cláusulas e duas cláusulas são equivalentes se contiverem os mesmos literais. Com essas suposições, podemos agora limitar o número de cláusulas distintas que podem ser expressas com$m$$m$$n$$m$$n$$m$ variáveis. Cada cláusula pode ter cada variável ocorrendo positiva ou negativamente, ou de modo algum, e então m ≤ 3 n .$n$$m\le 3^n$

Primeiro, considere SAT sem restrição sobre . Qual é o maior m tal que a instância é satisfatória? Sem perda de generalidade, podemos supor que a atribuição de zero é uma solução. Existem então 3 n - 2 n cláusulas diferentes consistentes com esta solução, cada uma contendo pelo menos um literal negado. Portanto, m ≤ 3 n - 2 n para qualquer instância satisfatória. A instância que consiste em todas as cláusulas em que cada uma contém pelo menos um literal negado possui muitas cláusulas e é satisfeita pela atribuição zero. Além disso, pelo princípio do pigeonhole, qualquer instância com pelo menos 3 $k$$m$$3^n-2^n$$m\le 3^n-2^n$ cláusulas não são satisfatórias.$3^n-2^n+1$

Isso produz subconjuntos diferentes de tais cláusulas, cada um representando uma instância distinta que é satisfeita por alguma atribuição. Em comparação, o número total de instâncias diferentes é 2 3 n .$2^{3^n-2^n}$$2^{3^n}$

Agora modificando o acima para os casos em que cada cláusula tem no máximo literais, existem Σ k i = 0 ($k$distingue tais cláusulas e∑ k i = 0 ($\sum_{i=0}^k \binom{n}{i}2^i$ cláusulas em que não há literais negativos, entãom≤Σ k i = 0 ($\sum_{i=0}^k \binom{n}{i}$para instâncias satisfatórias, e qualquermmaioré insatisfatório. Existem então2∑ k i = 0 ($m\le \sum_{i=0}^k \binom{n}{i}(2^i - 1)$$m$instâncias satisfeitas por uma determinada tarefa, do total de2∑ k i = 0 ($2^{\sum_{i=0}^k \binom{n}{i}(2^i - 1)}$k-SAT instâncias.$2^{\sum_{i=0}^k \binom{n}{i}2^i}$ $k$