Termos do Lambda-Calculus que se reduzem a si mesmos

Na minha busca contínua para tentar aprender o cálculo lambda, "Lambda-Calculus and Combinators an Introduction" de Hindley & Seldin menciona o seguinte artigo (por Bruce Lercher) que prova que a única expressão redutível que é a mesma (conversão de módulo alfa) para si mesma é: $(\lambda x.xx)(\lambda x.xx)$ .

Embora eu acredite no resultado, não sigo o argumento.

É bastante curto (menos de um parágrafo). Quaisquer explicações serão bem-vindas.

Obrigado,

Charlie

Primeiro, observe que o resultado afirma que o único redex beta em que o lado direito é igual (conversão alfa do módulo) ao lado esquerdo é . Existem outros termos que se reduzem, tendo esse redex em um contexto.$(\lambda x. x x) (\lambda x. x x)$

Eu posso ver como a maioria das provas de Lercher funciona, embora haja pontos em que eu não posso passar sem modificar um pouco a prova. Suponha que (eu uso$(\lambda x. A) B = [B/x] A$ para alfa equivalência), e de acordo com a convenção variável supor que x não ocorre livre em B .$=$$x$$B$

Conte o número de 's no lado esquerdo e no lado direito. A redução remove um do REDEX, mais aqueles de B , e adiciona tantos como existem em B vezes o número de ocorrências de x em A . Em outras palavras, se L ( M ) é o número de λ 's em M e # x ( M ) é o número de ocorrências livres de x em M, então 1 + L ( B ) = # x$\lambda$$B$$B$$x$$A$$L(M)$$\lambda$$M$$\#_x(M)$$x$$M$ . A única solução para essa equação diofantina é # x ( A ) = 2 (e L ( B ) = 1, mas não usaremos esse fato).$1 + L(B) = \#_x(A) \times L(B)$$\#_x(A) = 2$$L(B)=1$

Não entendo o argumento de Lercher para o parágrafo acima. Ele conta o número de 's e termos atômicos; vamos escrever este # ( M ) . A equação é # ( B ) + 1 = # x ( A ) × ( # ( B ) - 1 ) , que tem duas soluções: # x ( A ) = 2 , # ( B ) = 3 e # x ( $\lambda$$\#(M)$$\#(B) + 1 = \#_x(A) \times (\#(B) - 1)$$\#_x(A)=2, \#(B)=3$ . Não vejo uma maneira óbvia de eliminar a segunda possibilidade.$\#_x(A)=3, \#(B)=2$

Vamos agora aplicar o mesmo raciocínio ao número de subtermos igual a em ambos os lados. A redução remove um próximo ao topo e adiciona quantas ocorrências substituídas de x em A , ou seja, 2. Portanto, mais uma ocorrência de B deve desaparecer; Como os que estão em A permanecem (porque B não contém x livre ), a ocorrência extra de B no lado esquerdo deve ser$B$$x$$A$$B$$A$$B$$x$$B$ .$\lambda x. A$

Eu não entendo como Lercher deduz isso não possui B como subtermo, mas isso não é de fato relevante para a prova.$A$$B$

A partir da hipótese inicial, é uma aplicação. Não pode ser esse o caso se A = x , portanto, A é uma aplicação M N , com λ x . M N = [ ( λ x . M N ) / x ] M = [ ( λ x . M N ) / x ] $[(\lambda x. A)/x] A$$A = x$$A$$M N$$\lambda x.M N = [(\lambda x. M N)/x] M = [(\lambda x. M N)/x] N$ Como não pode se apresentar como um subtermo,$M$ não pode ter a forma λ x . P , então M = $M$$\lambda x.P$$M = x$ . Da mesma forma, .$N = x$

Prefiro uma prova sem argumentos de contagem. Suponha que .$(\lambda x. A) B = [B/x] A$

Se , temos ( λ x . A ) B = B , o que não é possível, pois B não pode ser um subtermo de si mesmo. Assim, como o lado direito da hipótese é igual a um aplicativo, A deve ser um aplicativo A 1 A 2 e λ x . A = [ B / x ] A 1 e B = [ B $A = x$$(\lambda x. A) B = B$$B$$A$$A_1 A_2$$\lambda x. A = [B/x] A_1$ .$B = [B/x] A_2$

A partir da igualdade anterior, ou A 1 = λ x . [ B / X ] Uma . No segundo caso, um 1 = λ x . ( λ x . A $A_1 = x$$A_1 = \lambda x. [B/x] A$ , o que não é possível, pois $ A_1 não pode ser um subtermo em si.$A_1 = \lambda x. (\lambda x. A_1 A_2) B$

A partir da igualdade último, quer ou um 2 não tem livres x (de outro modo B seria um subtermo de si mesmo). No último caso,$A_2 = x$$A_2$$x$$B$ .$A_2 = B$

Mostramos que . O lado direito da hipótese inicial é, portanto, B B , e B = λ x . A = λ x . $A = x x$$B B$$B = \lambda x. A$ .$\lambda x. x x$