Axiomas para os caminhos mais curtos

Suponha que tenhamos um gráfico ponderado não direcionado (com pesos não negativos). Vamos supor que todos os caminhos mais curtos em sejam únicos. Suponha que temos esses caminhos (sequências de arestas não ponderadas), mas não conhecemos o próprio Podemos produzir qualquer que daria esses caminhos como o mais curto no tempo polinomial? A versão mais fraca: podemos decidir em tempo polinomial se esse existe? $G = (V, E, w)$ $G$ $\binom{n}{2}$ $G$ $G$ $G$

A condição óbvia necessária é a seguinte: para cada par de caminhos, sua interseção também é um caminho. Essa condição é suficiente?

— ilyaraz
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Devo estar confuso sobre a entrada: se na união dos caminhos mais curtos você tem dois vértices

u, v

$u,v$ em um ciclo, então existem dois caminhos entre eles (que são os mais curtos necessariamente) e um deve ser mais curto que o outro pelo seu condição de exclusividade

— Suresh Venkat

@ Suresh: Eu não sei o que você quer chegar. Se o gráfico G é o gráfico completo, o caminho mais curto exclusivo entre dois vértices é uma aresta única, e a união de todos esses caminhos mais curtos é o gráfico completo.

— Tsuyoshi Ito

Eu acho que a resposta é 'não' para reconstruir um gráfico ponderado, pois, se alguma aresta estiver faltando na sua entrada, ela pode realmente (a) estar ausente no gráfico ou (b) ser uma aresta com um peso realmente alto. Eu acho que a versão sem pesos é mais interessante. Além disso, por que o gráfico que queremos encontrar ponderado e os caminhos que recebemos não ponderados?

— Artem Kaznatcheev

seja

H

$H$ a união dos caminhos mais curtos. existe uma razão pela qual

H

$H$ não é um gráfico que produziria esses mesmos caminhos mais curtos? ou, em outras palavras, não é o caso que se os caminhos mais curtos dados não forem os caminhos mais curtos em

H

$H$ , então não há gráfico para os quais eles são caminhos mais curtos?

— Sasho Nikolov 29/11

@SashoNikolov Que pesos devemos atribuir às arestas?

— Ilyaraz 29/11

Respostas:

Acabei de me deparar com essa pergunta antiga enquanto conduzia uma pesquisa acesa e, por acaso, recentemente obtive respostas neste artigo que eu também poderia compartilhar. Espero que a combinação de necromancia de tópicos e autopromoção seja perdoável.

Podemos produzir qualquer G que daria esses caminhos como o mais curto no tempo polinomial? A versão mais fraca: podemos decidir em tempo polinomial se esse G existe?

A resposta é sim para ambos. O algoritmo de Mohammad definitivamente funciona, mas há um método mais rápido e direto que evita a necessidade de executar oráculos de separação cúbicos. Seja um gráfico auxiliar não ponderado, em que o peso de cada aresta é um número inteiro, indicando quantos dos caminhos tomados na entrada contêm essa aresta. Agora, considere a instância de fluxo multicomodidade capacitada por arestas sobre (interpretando pesos de arestas como capacidades) em que o objetivo é empurrar simultaneamente 1 unidade de fluxo entre cada par de nós. Obviamente, essa instância de fluxo MC pode ser satisfeita pressionando o fluxo de maneira natural pelos caminhos dados na entrada. Como se vê, pode-se provar que nossa $H = (V, E, w')$ $e \in E$ $n \choose 2$ $H$ $n \choose 2$ caminhos são caminhos mais curtos exclusivos em alguns se e somente se essa for a maneira exclusiva de satisfazer a instância de fluxo do MC. Podemos testar a singularidade configurando um LP cujas restrições são as usuais para a viabilidade do fluxo de MC mais uma certa função objetivo cuidadosamente escolhida, e os pesos de borda de um satisfatório podem ser extraídos do dual deste LP. $G$ $G$

A condição óbvia necessária é a seguinte: para cada par de caminhos, sua interseção também é um caminho. Essa condição é suficiente?

Essa condição às vezes é chamada de "consistência" (um conjunto de caminhos é consistente se a interseção de dois) for um subcaminho de cada um). Resulta do exposto que a consistência não é suficiente. Um dos dois contra-exemplos vinculados pelo menor é o seguinte sistema codificado por cores de quatro caminhos em seis nós:

Em outras palavras, não há como atribuir pesos às oito arestas representadas aqui, para que todos esses quatro caminhos sejam simultaneamente o caminho mais curto e único entre seus pontos de extremidade. No entanto, qualquer par deles se cruza em apenas um nó, portanto eles são consistentes (mesmo se os preenchermos com alguns caminhos adicionais da maneira correta para que no total). Existem infinitamente muitos contra-exemplos como este; veja o artigo para uma caracterização. $n \choose 2$

Três outros comentários rápidos sobre tudo isso:

As declarações análogas que você pode esperar para todos são válidas na configuração de gráficos direcionados em vez de não direcionados,
Há uma boa interpretação topológica dessa teoria que leva a algumas idéias e intuições adicionais sobre como os caminhos mais curtos exclusivos podem ser estruturados e
Por algumas razões técnicas, a teoria simplifica convenientemente a configuração de DAGs, em vez de gráficos não direcionados ou direcionados (cíclicos).

— GMB
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Você pode escrever o problema como um LP, não é? Para quaisquer dois vértices u, ve qualquer caminho P de u até v, o peso de P é maior ou igual ao peso do caminho mais curto dado entre u e v. Todas essas são desigualdades lineares, e mesmo que haja exponencialmente, o problema de separação está em P (é apenas um problema de caminho mais curto para todos os pares). Portanto, você pode usar o algoritmo elipsóide para resolvê-lo.

— Mohammad
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