Corpo convexo com a norma l2 mínima esperada

Considere um corpo convexo centrado na origem e simétrico (ou seja, se então ). Desejo encontrar um corpo convexo diferente tal que e a seguinte medida seja minimizada:$K$$x\in K$$-x\in K$$L$$K\subseteq L$

$f(L)=\mathbb{E}(\sqrt{x^T \cdot x})$ , onde é um ponto escolhido uniformemente aleatoriamente em L.$x$

Eu estou bem com a aproximação constante do fator à medida.

Algumas notas - O primeiro palpite intuitivo de que é a resposta está errada. Por exemplo, considere um cilindro fino em dimensão muito alta. Então podemos obter tal que deixando ter mais volume próximo da origem.$K$$K$$L$$f(L)<f(K)$$L$

Se restringirmos e a serem ambos elipsóides, seu problema poderá ser resolvido com precisão com um SDP. Sei que não foi o que você pediu originalmente, mas parece que não temos solução, mesmo para este caso restrito, e talvez possa ajudar em geral.$K$$L$

Então, digamos que é o elipsóide de entrada e estamos procurando encontrar um elipsóide ótimo . Existe um mapa linear st e um mapa st , onde é a bola unitária. Então . Também , onde é o corpo polar de . Convenientemente, e . Segue queJ F E = F B 2 G J = G B 2 B 2 E x ∼ J [ ″ x ² 2 2 ] = $E$$J$$F$$E = FB_2$$G$$J = GB_2$$B_2$E⊆J⇔J∘⊆E∘E∘EE∘={x:xTFTFx≤1}J∘={x:xTLTLx≤1}J∘⊆E∘E⊆JLT$\mathbb{E}_{x \sim J}[\|x\|_2^2] = \frac{1}{n}\mathsf{Tr}(G^TG)$$E \subseteq J \Leftrightarrow J^\circ \subseteq E^\circ$$E^\circ$$E$$E^\circ = \{x: x^TF^TFx \leq 1\}$$J^\circ = \{x: x^TG^TGx \leq 1\}$$J^\circ \subseteq E^\circ$ (e, portanto, ) se e somente se for uma matriz semidefinida positiva.$E \subseteq J$$G^TG - F^TF$

Portanto, o SDP é definido por: dada uma matriz PSD simétrica , encontre uma matriz PSD simétrica st é PSD e é minimizado. pode ser encontrado através da resolução de SDP e, em seguida, uma SVD dará os eixos e eixos de comprimentos .N N - M T r ( N ) N $M$$N$$N - M$$\mathsf{Tr}(N)$$N$$J$

(Conforme mencionado nos comentários, a seguinte abordagem não funciona. O objeto obtido não é convexo. No entanto, caracteriza um objeto "em forma de estrela" com a distância mínima esperada.)

Eu acho que o objeto ideal seria uma união de e alguma bola centrada na origem. Aqui estão os meus pensamentos. Pela sua definição de , que é a distância da origem à superfície de ao longo de uma direção específica. Eu usei vez de =, porque deixei cair algumas constantes. Agora queremos minimizar sob as restrições quef ( L ) f ( G ) ~ ∫ S d - 1 ∫ R G 0 x d ( x d / x d L$K$$f(L)$RLL~g(G)rL≥rKrKg(K)/2£≤g(K)/2-rKg(K)(rL+ϵ)

$$f(L) \sim \int_{{\mathbb S}^{d-1}} \int_{0}^{r_L} x\frac{\mathrm{d}(x^d/x_L^d)}{\mathrm dx}\frac{r_L}{\mathrm{vol}(L)} \mathrm dx\mathrm dS \sim \int_{{\mathbb S}^{d-1}} \frac{r_L^2}{\mathrm{vol}(L)}dS \sim \frac{\int_{{\mathbb S}^{d-1}} r_L^2 dS}{\int_{{\mathbb S}^{d-1}} r_L dS} \stackrel{\mathrm{def}}{=} g(L),$$ $r_L$$L$$\sim$$g(L)$$r_L \ge r_K$ em qualquer direção. Observe que se ao longo de uma direção for menor que , podemos aumentá-lo um pouco, digamos, aumentá-lo em , para tornar menor. Isso ocorre porque aumentamos o enumerador em , menos que um fator do aumento no denominador. Portanto, podemos pensar em "deformar" gradualmente (aumentando levemente o objeto repetidamente e atualizando ) para diminuir seu valor de . Seja o objeto convexo no final. Então, qualquer ponto$r_K$$g(K)/2$$\epsilon \le g(K)/2 -r_K$$g(K)$g ( K ) K g ( ⋅ ) g ( ⋅ ) K ∗ ∂ K ∗ ∖ ∂ K g ( K ∗ ) / 2 K ∗ K g ( K ∗ ) /$(r_L+\epsilon)^2 -r_L^2 = \epsilon(2r_L + \epsilon)$$g(K)$$K$$g(\cdot)$$g(\cdot)$$K^*$$\partial K^*\setminus \partial K$ está na distância da origem, ou seja, é a união de e uma bola com raio .$g(K^*)/2$$K^*$$K$$g(K^*)/2$

De fato, considere outro objeto convexo tal que . Então , pois caso contrário, podemos aumentar a parte de dentro de para tornar menor. Por outro lado, , porque, caso contrário, pela mesma idéia, podemos reduzir a parte de fora de para tornar menor. Portanto, existe uma solução ideal exclusiva. g ( K ′ ) = g ( K ) K ∗ ⊆ K ′ K ′ K ∗ g ( K ′$K'$$g(K') = g(K)$$K^*\subseteq K'$$K'$$K^*$$g(K')$K ' ∖ K K * g ( K '$K'\subseteq K^*$$K'\setminus K$$K^*$$g(K')$

A seguinte solução é baseada nesta premissa / conjectura [a ser comprovada]:

Conjectura : A expectativa de uma função convexa em é menor que a maior entre a expectativa em e a expectativa em .K K $\textrm{conv}(K\bigcup K')$$K$$K'$

[Vamos precisar do acima exposto apenas para convexo, mas isso pode ser verdade em geral]$K,K'$

Pegue agora qualquer conjunto e aplique uma rotação centrada na origem, obtendo . Você terá , porque a rotação deixa o comprimento dos elementos de invariáveis. Se estou certo sobre a conjectura, . Como para qualquer ideal, você pode considerar , onde indica a união em todas as rotações e possui , parece que o ideal pode ser escolhido para ser a menor esfera contendoR R ( K ) f ( K ) = f ( R ( K ) ) K f ( conv ( K ⋃ R ( K ) ) ) ≤ f ( K ) L L ′ = ⋃ R R ( L ) = conv ( ⋃ R R ( L ) ) ⋃ R f ( $K$$R$$R(K)$$f(K)=f(R(K))$$K$$f(\textrm{conv}(K\bigcup R(K)))\leq f(K)$$L$$L'=\bigcup_R R(L)=\textrm{conv}(\bigcup_R R(L))$$\bigcup_R$$f(L)\geq f(L') \geq f(L)$$L$$K$.