Qual é a diferença entre proposições e julgamentos?

Fico confuso com a sutil diferença entre proposições e julgamentos quando exposto à teoria do tipo intuicionista. Alguém pode me explicar qual é o objetivo de distingui-los e o que os distingue? Especialmente em vista do Curry-Howard Isomorphsim.

Primeiro, você deve saber que, em geral, não há consenso sobre esses termos e suas definições dependem do sistema em que se trabalha. Desde que você perguntou sobre a teoria do tipo intuicionista, cito Pfenning:

Um julgamento é algo que podemos saber, isto é, um objeto de conhecimento. Um julgamento é evidente se, de fato, o conhecemos.

As proposições, por outro lado, de acordo com Martin-Löf, são conjuntos de provas. Nesta interpretação, se o conjunto de provas de uma proposição estiver vazio, será falso e, de outro modo, verdadeiro.

Uma proposição é interpretada como um conjunto cujos elementos representam as provas da proposição

diz Nordström et al. Por outro lado, na lógica clássica e em geral, proposições são objetos expressos em uma linguagem que pode ser "verdadeira" ou "falsa".

Para lhe dar alguma intuição extra; do meu ponto de vista, julgamentos são metalógicos e proposições lógicas.

Sugiro "Lógica Construtiva", de Frank Pfenning , "Provas e Tipos", de Jean-Yves Girard e "Programação na Teoria dos Tipos de Martin-Löf", de Bengt Nordström et al. Todos os três estão disponíveis gratuitamente na Internet. O último é provavelmente o mais próximo do que você deseja, pois é orientado à programação e entra em grandes detalhes, detalhadamente, sobre os significados desses termos e muito mais.

Talvez eu possa tentar dar uma resposta menos metafísica.

Há uma linguagem, uma linguagem lógica, que estamos estudando. Nesse idioma, existem coisas chamadas "proposições" que deveriam ser verdadeiras ou falsas.

Existe uma meta-linguagem, que também é uma linguagem lógica, na qual estamos tentando explicar quais coisas na linguagem base são verdadeiras ou falsas. As declarações que fazemos nesta meta-linguagem são chamadas de "julgamentos".

Observe que todas as proposições do idioma base têm o status de dados na meta-idioma. Eles são tão bons quanto cordas. Você não pode perguntar a uma string se é verdadeira ou falsa. Um julgamento é o intérprete que interpreta a sequência como uma proposição e decide se é verdadeira ou falsa.

Vou tentar ser breve, onde outras respostas foram mais exaustivas. Há uma diferença entre um pedaço de texto dizendo "O mordomo fez isso". , e a sra. Marple proclamando "O mordomo fez isso". No segundo caso, o mordomo pode perder sua liberdade.

Nas teorias de tipo de Martin-Löf , os julgamentos fazem parte dos atos de fala . Existem quatro (ou cinco de acordo com a Wikipedia) julgamentos:

• ( A é um tipo / conjunto / proposição),$A \ \mathsf{Type}$$A$
• ( s é um membro / prova de A ),$s : A$$s$$A$
• ( s e t são membros / provas iguais de A ),$s=t : A$$s$$t$$A$
• ( A e B são tipos / conjuntos / proposições iguais),$A=B$$A$$B$
• $\Gamma \ \mathsf{Context}$$\Gamma$

$\vdash$

$A$$A$$t$$A$$t : A$$t$$A$$\vdash t:A$

Eu acrescentaria "Fundamentos da matemática construtiva" de Michael Beeson às sugestões na resposta de Anthony. Martin-Löf deu várias palestras que explicam sua teoria muito bem, mas infelizmente a maioria delas não se transformou em forma publicada por ele (mas consulte este site ).

Os julgamentos são a composição de duas coisas:

1. $P$
2. $\cal A$

${\cal A} [P]$

$[P]$$[P]$$[T]$$H_1, \dots, H_n \vdash A_1, \dots, A_n$, em que algumas lógicas têm julgamentos que não são trivialmente equivalentes a qualquer proposição da linguagem da lógica. Portanto, tipos diferentes de proposicionais são vistos na lógica clássica bastante elementar.

A teoria dos tipos de Martin-Löf recorre a uma família de julgamentos mais complexa por três razões: primeiro, é tipicamente dependente, o que significa que as proposições ocorrem como entidades sintáticas dentro dos termos. Segundo, ele dispensou o uso de uma gramática para definir quais cadeias de símbolos são termos e proposições válidas, mas usou o sistema inferencial para fazer isso - uma coisa razoável a se fazer, já que proposições nessas teorias tipificadas geralmente não são livres de contexto. Terceiro, ele desenvolveu uma nova teoria da igualdade, freqüentemente chamada igualdade proposicional, que aproveita a teoria beta-eta (ou, em algumas variantes, apenas a teoria beta), e os julgamentos de que dois termos compartilham a mesma forma normal são expressos usando julgamentos que expressam a equivalência beta / eta de dois termos - novamente razoável,

Os julgamentos que expressam equivalência beta / eta podem ser eliminados sem muita dificuldade - têm como fundamento a regra de introdução para a igualdade proposicional, sendo que os dois termos são equivalentes beta (a equivalência beta-eta é um pouco mais problemática) - mas eliminando o julgamento que os termos habitam tipos é muito mais complicado; a maneira menos ruim de pensar em fazer isso é reconstruir a inferência de tipo no termo gramática, o que leva a uma teoria mais complexa e menos intuitiva em geral.

Reivindicações, proposições e declarações são todas iguais; mas um jugement é uma proposição que foi verificada (certa ou errada), endossada ou usada como conclusão. Não há necessidade de fórmulas sofisticadas, como as respostas acima parecem abusar ...