Qual é a extensão mínima do FO que captura a classe de idiomas regulares?

Contexto: relações entre lógica e autômatos

O Teorema de Büchi afirma que a lógica monádica de segunda ordem sobre seqüências de caracteres (MSO) captura a classe de linguagens regulares. A prova realmente mostra que o MSO existencial ( ou EMSO ) sobre cadeias de caracteres é suficiente para capturar idiomas regulares. Isso pode ser um pouco surpreendente, pois, em estruturas gerais, o MSO é estritamente mais expressivo do que . $\exists\text{MSO}$ $\exists\text{MSO}$

Minha pergunta (original): uma lógica mínima para idiomas regulares?

Existe uma lógica que, em estruturas gerais, é estritamente menos expressiva que , mas que ainda captura a classe de linguagens regulares quando considerada sobre cadeias? $\exists\text{MSO}$

Em particular, eu gostaria de saber qual fragmento das linguagens regulares é capturado pelo FO sobre as strings quando estendido com um operador de ponto menos fixo (FO + LFP). Parece um candidato natural para o que estou procurando (se não for ). $\exists\text{MSO}$

Primeira resposta

De acordo com a resposta de @ makoto-kanazawa , o FO (LFP) e o FO (TC) capturam mais do que idiomas regulares, onde o TC é um operador de fechamento transitivo de relações binárias. Resta ver se o TC pode ser substituído por outro operador ou conjunto de operadores de tal maneira que a extensão capture exatamente a classe de idiomas regulares, e nenhum outro.

Somente a lógica de primeira ordem, como sabemos, não é suficiente, pois captura linguagens sem estrelas, uma subclasse apropriada das linguagens regulares. Como um exemplo clássico, o idioma Paridade não pode ser expresso usando uma sentença FO. $\;\;=(aa)^*$

Pergunta atualizada

Aqui está uma nova redação da minha pergunta, que permanece sem resposta.

Qual é a extensão mínima da lógica de primeira ordem, de modo que FO + essa extensão, quando assumida por seqüências de caracteres, captura exatamente a classe das linguagens regulares?

Aqui, uma extensão é mínima se for a menos expressiva (quando assumida sobre estruturas gerais) entre todas as extensões que capturam a classe de idiomas regulares (quando assumida sobre cadeias).

— Janoma
fonte

Se não me engano, o cálculo de

é realmente equivalente ao MSO sobre as strings.

μ

$\mu$

— 27412 Sylvain

@Sylvain, alguma referência? Não sei nada sobre o

cálcio.

μ

$\mu$

— precisa saber é

Parece ser comprovado em dx.doi.org/10.1109/LICS.1988.5137 para a árvore infinita e em dx.doi.org/10.1007/3-540-61604-7_60 para a equivalência com o fragmento de bisimulação invariante do MSO sobre estruturas arbitrárias.

— 27412 Sylvain

Estou dando uma olhada no segundo artigo, apesar de receio que muitos conceitos sejam novos para mim. Em particular, eu não sabia sobre sistemas de transição invariáveis por bisimulação. Parece que os DFA são casos particulares de um sistema de transição, mas não sei se são invariantes por bisimulação. Se eles são, isso responderia parte da minha pergunta (poderia haver outra lógica menos expressiva para linguagens regulares); se não forem, acho que nada pode ser dito, pois ainda pode haver uma equivalência quando se considera apenas as strings.

— Janoma

Duas palavras finitas , vistas como sistemas de transição, são bisimilares se forem isomórficas. (Nas notações do segundo artigo, uma palavra

com

pode ser visto como um sistema de transição

a_{1} \dots a_{n}

$a_1\cdots a_n$

Σ^{*}

$\Sigma^\ast$

Σ = 2^{P r o p}

$\Sigma=2^{\mathit{Prop}}$

⟨ {1, \dots, n}, 1, {(i, i + 1) ∣ i < n}, {i ∣ p \in a_{i}}_{p \in P r o p} ⟩

$\langle\{1,\dots,n\},1,\{(i,i+1)\mid i<n\},\{i\mid p\in a_i\}_{p\in\mathit{Prop}}\rangle$

— Sylvain

Respostas:

FO (LFP) captura PTIME em estruturas ordenadas e cadeias de caracteres são estruturas ordenadas. Portanto, os idiomas definíveis pelo FO (LFP) incluem todos os idiomas regulares e muito mais. http://dx.doi.org/10.1016/S0019-9958(86)80029-8

O livro de Ebbinghaus e Flum contém um exercício que pede para mostrar FO (TC ^ 1) (lógica de primeira ordem estendida com fechamentos transitivos de relações binárias) é equivalente ao MSO em seqüências de caracteres. No mesmo exercício, é usado como exemplo para mostrar que FO (TC ^ 2) é mais expressivo que MSO em seqüências de caracteres. Todas as fórmulas FO (TC) são claramente equivalentes às fórmulas FO (LFP). $\{ a^n b^n \mid n \geq 1 \}$

— Makoto Kanazawa
fonte

Excelente. Não sei o que você quer dizer com TC ^ 1 e TC ^ 2, isso é um erro de digitação? Até onde eu sei, no livro você menciona que a notação usada é FO (TC) para a extensão do FO com fechamento transitivo e FO (DTC) para a extensão do FO com fechamento transitivo determinístico , que é definido de maneira diferente. Não encontrei o exercício que você mencionou. Resta ver se existe um operador menos expressivo que o TC que ainda permita capturar idiomas regulares. Vou atualizar minha pergunta de acordo.

— Janoma

Essa resposta está um pouco atrasada, mas sabe-se que é possível obter todas e somente as línguas regulares juntando um quantificador de grupo generalizado para cada grupo finito (ou equivalente para cada grupo simples finito). Por exemplo, consulte "Idiomas Regulares Definíveis por Quantificadores Lindstrom", de Zoltan Esiky e Kim G. Larsen, em http://www.brics.dk/RS/03/28/BRICS-RS-03-28.pdf .

Além disso, isso é ideal no sentido de que uma linguagem comum só será definível se os quantificadores para cada grupo que divide seu monóide sintático estiverem disponíveis.

— Ben Standeven
fonte

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Encontrei mais algumas referências nas quais você pode estar interessado.

$^1$

— Makoto Kanazawa
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