Algoritmo quântico para sistemas lineares de equações (HHL09): Etapa 2 - O que é

^{Esta é uma sequência do algoritmo Quantum para sistemas lineares de equações (HHL09): Etapa 1 - Confusão em relação ao uso do algoritmo de estimativa de fase e algoritmo Quantum para sistemas lineares de equações (HHL09): Etapa 1 - Número de qubits necessários} .

No artigo: Algoritmo quântico para sistemas lineares de equações (Harrow, Hassidim & Lloyd, 2009) , o que está escrito na parte

O próximo passo é decompor $|b\rangle$ na base do vetor próprio, usando estimativa de fase [5-7]. Denotar por $|u_j\rangle$ os vectores próprios de $A$ (ou de modo equivalente, de $e^{iAt}$ ), e por $\lambda_j$ os valores próprios correspondentes.

na página $2$ faz algum sentido para mim (as confusões até então foram abordadas nas postagens anteriores linkadas acima). No entanto, a próxima parte, ou seja, a rotação $R(\lambda^{-1})$ parece um pouco enigmática.

Let
$| Ψ_{0} ⟩ := \sqrt{\frac{2}{T}} \sum_{τ = 0}^{T - 1} \sin \frac{π (τ + \frac{1}{2})}{T} | τ ⟩$ $|\Psi_0\rangle := \sqrt{\frac{2}{T}}\sum_{\tau =0}^{T-1} \sin \frac{\pi(\tau+\frac{1}{2})}{T}|\tau\rangle$
por algum grande . Os coeficientes de são escolhidos (seguinte [07/05]) para minimizar a perda de uma determinada função quadrática que aparece na nossa análise de erro (ver [13] para detalhes). $T$ $|\Psi_0\rangle$

A seguir, aplicamos a evolução hamiltoniana condicional on , onde . $\sum_{\tau = 0}^{T-1}|\tau\rangle \langle \tau|^{C}\otimes e^{iA\tau t_0/T}$ $|\Psi_0\rangle^{C}\otimes |b\rangle$ $t_0 = \mathcal{O}(\kappa/\epsilon)$

Questões:

1. O que exatamente é ? O que e representa? Não faço ideia de onde esta expressão gigantesca $|\Psi_0\rangle$ $T$ $\tau$ repente vem e que a sua utilização é.

\sqrt{\frac{2}{T}} \sum_{τ = 0}^{T - 1 1} pecado \frac{π (τ + \frac{1 1}{2})}{T} | τ ⟩

$\sqrt{\frac{2}{T}}\sum_{\tau =0}^{T-1} \sin \frac{\pi(\tau+\frac{1}{2})}{T}|\tau\rangle$

2. Após a etapa de estimativa de fase, o estado do nosso sistema é aparentemente :

(\sum_{j = 1 1}^{j = N} β_{j} | {você}_{j} ⟩ \otimes | {\tilde{λ}}_{j} ⟩) \otimes | 0 0 ⟩_{ancilla}

$\left(\sum_{j=1}^{j=N}\beta_j|u_j\rangle\otimes |\tilde\lambda_j\rangle\right)\otimes |0\rangle_{\text{ancilla}}$

Este certamente não pode ser escrito como ou seja

(\sum_{j = 1}^{j = N} β_{j} | u_{j} ⟩) \otimes (\sum_{j = 1}^{j = N} | {\tilde{λ}}_{j} ⟩) \otimes | 0 ⟩_{ancilla}

$\left(\sum_{j=1}^{j=N}\beta_j|u_j\rangle\right)\otimes \left(\sum_{j=1}^{j=N}|\tilde\lambda_j\rangle\right)\otimes |0\rangle_{\text{ancilla}}$

| b ⟩ \otimes (\sum_{j = 1}^{j = N} | {\tilde{λ}}_{j} ⟩) \otimes | 0 ⟩_{ancilla}

$|b\rangle\otimes \left(\sum_{j=1}^{j=N}|\tilde\lambda_j\rangle\right)\otimes |0\rangle_{\text{ancilla}}$

Então, está claro que não está disponível separadamente no segundo registo. Então, eu não tenho ideia de como eles estão preparando um estado como , em primeiro lugar! Além disso, o que esse no sobrescrito de designam? $|b\rangle$ $|\Psi_0\rangle^{C}\otimes |b\rangle$ $C$ $|\Psi_0\rangle^{C}$

3. Onde esta expressão aparecem subitamente? Qual é a utilidade de simulá-lo? E o que é em ? $\sum_{\tau = 0}^{T-1}|\tau\rangle \langle \tau|^{C}\otimes e^{iA\tau t_0/T}$ $\kappa$ $\mathcal{O}(\kappa/\epsilon)$

algorithm hhl-algorithm hamiltonian-simulation

— Sanchayan Dutta
fonte

Respostas:

1. Definições

Os nomes e símbolos usados nesta resposta seguem os definidos nos algoritmos de sistemas lineares quânticos: um primer (Dervovic, Herbster, Mountney, Severini, Usher & Wossnig, 2018) . Um recall é feito abaixo.

1.1 Registrar nomes

Os nomes de registro são definidos na Figura 5. dos algoritmos de sistemas lineares quânticos: um iniciador (Dervovic, Herbster, Mountney, Severini, Usher & Wossnig, 2018) (reproduzido abaixo):

(1 qubit) é o registro ancilla usado para verificar se a saída é válida ou não. $S$
( qubits) é o registro do relógio, ou seja, o registro usado para estimar os autovalores do hamiltoniano com estimativa de fase quântica (QPE). $C$ $n$
( qubits) é o registro que armazena o lado direito da equação . Ele armazena , o resultado da equação, quando é medido para ser no final do algoritmo. $I$ $m$ $Ax = b$ $x$ $S$ $\left|1\right>$

2. Sobre : $\left|\Psi_0\right>$

O que exatamente é ? $\left|\Psi_0\right>$

é possível um estado inicial do registo de relógio. $\left|\Psi_0\right>$ $C$
O que e representa? $T$ $\tau$

significa um grande número inteiro positivo. Esse deve ser o maior possível, porque a expressão de asymptotically minimizar um determinado erro para crescer até o infinito. Na expressão de , será , o número de possíveis estados para o relógio quântico . $T$ $T$ $\left|\Psi_0\right>$ $T$ $\left|\Psi_0\right>$ $T$ $2^n$ $C$

é apenas o índice de soma $\tau$
Por que uma expressão tão gigantesca para ? $\left|\Psi_0\right>$

Veja a publicação de DaftWullie para uma explicação detalhada.

Seguindo as citações no algoritmo Quantum para sistemas lineares de equações (Harrow, Hassidim & Lloyd, 2009 v3) , terminamos com:
1. A versão anterior do mesmo artigo, algoritmo Quantum para sistemas lineares de equações (Harrow, Hassidim & Lloyd, 2009 v2) . Os autores revisaram o artigo duas vezes (existem 3 versões do artigo original do HHL) e a versão n ° 3 não inclui todas as informações fornecidas nas versões anteriores. Na V2 (seção A.3. Começando na página 17), os autores fornecem uma análise detalhada do erro com esse estado inicial especial.
2. Relógios Quânticos Ótimos (Buzek, Derka, Massar, 1998) onde a expressão de é dado como na Equação 10. Eu não tenho o conhecimento necessário para entender completamente esta parte, mas parece que esta expressão é "ótima" em algum sentido. $\left|\Psi_0\right>$ $\left|\Psi_{opt}\right>$

3. Preparação de : $\left|\Psi_0\right>$

Como dito na parte anterior, é um estado inicial. Eles não se preparam após o procedimento de estimativa de fase. A ordenação de sentenças não é realmente ótima no artigo. O procedimento de estimativa de fase que eles usam no artigo é um pouco diferente do algoritmo "clássico" de estimativa de fase representado no circuito quântico vinculado na parte 1, e é por isso que o explicam em detalhes. $\left|\Psi_0\right>$ $\left|\Psi_0\right>$

Seu algoritmo de estimativa de fase é:

Prepare o estado no registo . $\left|\Psi_0\right>$ $C$
Aplicar a evolução Hamiltonian condicional aos registos e (que estão no estado ). $C$ $I$ $\left|\Psi_0\right>\otimes \left|b\right>$
Aplique a transformação quântica de Fourier ao estado resultante.

Finalmente, o em significa que o estado é armazenado no registo . Esta é uma notação curta e conveniente para acompanhar os registros usados. $C$ $\left| \Psi_0 \right>^C$ $\left| \Psi_0 \right>$ $C$

4. Simulação Hamiltoniana:

Primeiro de tudo, é o número de condição ( página da Wikipedia sobre "número de condição" ) da matriz . $\kappa$ $A$

é a representação matemática de uma porta quântica. $\sum_{\tau = 0}^{T-1}|\tau\rangle \langle \tau|^{C}\otimes e^{iA\tau t_0/T}$

A primeira parte da soma é uma parte de controle. Isso significa que a operação será controlada pelo estado do primeiro registro quântico (o registro como o expoente nos diz). $|\tau\rangle \langle \tau|^{C}$ $C$

A segunda parte é a porta "simulação Hamiltoniano", ou seja, uma porta quântica que vai aplicar a matriz unitária dada por para o segundo registador (a registar que está no estado inicial ). $e^{iA\tau t_0/T}$ $I$ $\left|b\right>$

A soma todo é a representação matemática da operação controlada de U no circuito quântico de "1. Definições", com . $U = e^{iA\tau t_0/T}$

— Nelimee
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$\newcommand{\bra}[1]{\left\langle#1\right|}\newcommand{\ket}[1]{\left|#1\right\rangle}\newcommand{\proj}[1]{|#1\rangle\langle#1|}\newcommand{\half}{\frac12}$ Em resposta à sua primeira pergunta, escrevi algumas anotações há algum tempo sobre meu entendimento de como funcionava. A notação é provavelmente um pouco diferente (tentei alinhar mais, mas é fácil perder bits), mas tenta explicar essa escolha do estado . Também parece haver alguns fatores de $|\Psi_0\rangle$ flutuando em alguns lugares. $\frac12$

Quando estudamos a estimativa de fase pela primeira vez, geralmente pensamos nisso em relação ao uso em algum algoritmo específico, como o algoritmo de Shor. Isso tem um objetivo específico: obter a melhor aproximação de bits para o valor próprio. Você faz ou não, e a descrição da estimativa de fase é ajustada especificamente para fornecer a maior probabilidade possível de sucesso. $t$

No HHL, estamos tentando produzir algum estado onde, fazendo uso de estimativa de fase. A precisão da aproximação disso dependerá muito mais criticamente de uma estimativa precisa dos autovalores próximos de 0 do que daqueles distantes de 0. Um passo óbvio, portanto, é tentar modificar o protocolo de estimativa de fase para que do que usar 'caixas' de largura fixapara aproximar as fases de(

| ϕ ⟩ = \sum_{j} \frac{β_{j}}{λ_{j}} | λ_{j} ⟩,

$\ket{\phi}=\sum_j\frac{\beta_j}{\lambda_j}\ket{\lambda_j},$

| b ⟩ = \sum_{j} β_{j} | λ_{j} ⟩

$\ket{b}=\sum_j\beta_j\ket{\lambda_j}$

2 π / T

$2\pi/T$

e^{- i A t}

$e^{-iAt}$

é o número de qubits em registo estimativa de fase), poderíamos sim especificar um conjunto de

para

para atuar como o centro de cada bin para que possamos ter muito maior precisão perto 0 fase. Mais geralmente, você pode especificar uma função de trade-off para o quão tolerante que você pode ser de erros em função da fase

T = 2^{t}

$T=2^t$

t

$t$

ϕ_{y}

$\phi_y$

y \in {0, 1}^{t}

$y\in\{0,1\}^t$

ϕ

$\phi$ . A natureza precisa dessa função pode ser ajustada para um determinado aplicativo e a figura de mérito específica que você usará para determinar o sucesso. No caso do algoritmo de Shor, nossa figura de mérito era simplesmente esse protocolo de classificação - fomos bem-sucedidos se a resposta estivesse na posição correta e sem êxito fora dela. Esse não será o caso no HHL, cujo sucesso é mais razoavelmente capturado por uma medida contínua como a fidelidade. Assim, para o caso geral, vamos designar uma função de custo

que especifica uma penalidade para respostas

se a fase verdade é

C (ϕ, ϕ^{'})

$C(\phi,\phi')$

ϕ^{'}

$\phi'$

ϕ

$\phi$

Lembre-se de que o protocolo de estimativa de fase padrão funcionou produzindo um estado de entrada que era a superposição uniforme de todos os estados de base e, em seguida, o restante do protocolo poderia funcionar como antes. Por enquanto, ignoraremos a questão de quão difícil é produzir o novo estado para . Esse estado foi usado para controlar a aplicação seqüencial de múltiplasportas controladas, que são seguidas por uma transformação inversa de Fourier. Imagine que poderíamos substituir o estado de entrada por outro estado $\ket{x}$ $x\in\{0,1\}^t$ $U$

| Ψ_{0} ⟩ = \sum_{x \in {0, 1}^{t}} α_{x} | x ⟩,

$\ket{\Psi_0}=\sum_{x\in\{0,1\}^t}\alpha_x\ket{x},$

, como estamos apenas tentando transmitir o conceito básico. A partir deste estado, o uso das controlada

portões (direccionamento de um vector próprio

de valores próprios

), produz o estado

A aplicação da transformação inversa de Fourier produz

| Ψ_{0} ⟩

$\ket{\Psi_0}$

U

$U$

U

$U$

ϕ

$\phi$

\sum_{x \in {0, 1}^{t}} α_{x} e^{i ϕ x} | x ⟩ .

$\sum_{x\in\{0,1\}^t}\alpha_xe^{i\phi x}\ket{x}.$

A probabilidade de obter uma resposta

(ie

) é

\frac{1}{\sqrt{T}} \sum_{x, y \in {0, 1}^{t}} e^{i x (ϕ - \frac{2 π y}{M})} α_{x} | y ⟩ .

$\frac{1}{\sqrt{T}}\sum_{x,y\in\{0,1\}^t}e^{ix\left(\phi-\frac{2\pi y}{M}\right)}\alpha_x\ket{y}.$

y

$y$

ϕ^{'} = 2 π y / T

$\phi'=2\pi y/T$

portanto o valor esperado da função de custo, assumindo uma distribuição aleatória de

, é

\frac{1}{T} {| \sum_{x \in {0, 1}^{t}} e^{i x (ϕ - \frac{2 π y}{T})} α_{x} |}^{2}

$\frac{1}{T}\left|\sum_{x\in\{0,1\}^t}e^{ix\left(\phi-\frac{2\pi y}{T}\right)}\alpha_x\right|^2$

ϕ

$\phi$

e nossa tarefa é selecionar as amplitudes

que minimizam isso para qualquer realização específica de

. Se fizermos a suposição simplificadora de que

é apenas uma função de

, então podemos fazer uma mudança de variável na integração para dar

\bar{C} = \frac{1}{2 π T} \int_{0}^{2 π} d ϕ \sum_{y \in {0, 1}^{t}} {| \sum_{x \in {0, 1}^{t}} e^{i x (ϕ - \frac{2 π y}{T})} α_{x} |}^{2} C (ϕ, 2 π y / T),

$\bar C=\frac{1}{2\pi T}\int_0^{2\pi}d\phi\sum_{y\in\{0,1\}^t}\left|\sum_{x\in\{0,1\}^t}e^{ix\left(\phi-\frac{2\pi y}{T}\right)}\alpha_x\right|^2C(\phi,2\pi y/T),$

α_{x}

$\alpha_x$

C (ϕ, ϕ^{'})

$C(\phi,\phi')$

C (ϕ, ϕ^{'})

$C(\phi,\phi')$

ϕ - ϕ^{'}

$\phi-\phi'$

Como observamos, a medida mais útil provavelmente é uma medida de fidelidade. Considere que temos um estado

E desejamos implementar o

\bar{C} = \frac{1 1}{2 π} \int_{0 0}^{2 π} d ϕ {| \sum_{x \in {0 0, 1 1}^{t}} e^{Eu x ϕ} α_{x} |}^{2} C (ϕ),

$\bar C=\frac{1}{2\pi}\int_0^{2\pi}d\phi\left|\sum_{x\in\{0,1\}^t}e^{ix\phi}\alpha_x\right|^2C(\phi),$

| + ⟩

$\ket{+}$

, mas, em vez disso, implementamos

. A fidelidade mede quão bem isso alcança a tarefa desejada,

U_{ϕ} = | 0 ⟩ ⟨ 0 | + e^{i ϕ} | 1 ⟩ ⟨ 1 |

$U_\phi=\proj{0}+e^{i\phi}\proj{1}$

U_{ϕ^{'}} = | 0 ⟩ ⟨ 0 | + e^{i ϕ^{'}} | 1 ⟩ ⟨ 1 |

$U_{\phi'}=\proj{0}+e^{i\phi'}\proj{1}$

então tomamos

F = {| ⟨ + | {você}_{ϕ^{'}}^{†} você | + ⟩ |}^{2} = {porque}^{2} (\frac{ϕ - ϕ^{'}}{2}),

$F=\left|\bra{+}U_{\phi'}^\dagger U\ket{+}\right|^2=\cos^2\left(\frac{\phi-\phi'}{2}\right),$

uma vez que no caso ideal

, então o erro, que é o que nós queremos minimizar, pode ser tomado como

. Este será, certamente, a função correta para avaliar qualquer

, mas para a tarefa mais geral de modificar as amplitudes, não apenas as fases, os efeitos das imprecisões propagar através do protocolo de uma maneira menos trivial, por isso é difícil de provar optimality , embora a função

já proporcione algumas melhorias em relação à superposição uniforme de estados. Continuando com este formulário, temos

C (ϕ - ϕ^{'}) = {pecado}^{2} (\frac{ϕ - ϕ^{'}}{2}),

$C(\phi-\phi')=\sin^2\left(\frac{\phi-\phi'}{2}\right),$

F = 1

$F=1$

1 - F

$1-F$

U^{t}

$U^t$

C (ϕ - ϕ^{'})

$C(\phi-\phi')$

O over over

agora pode ser executado, então queremos minimizar a função

\bar{C} = \frac{1 1}{2 π} \int_{0 0}^{2 π} d ϕ {| \sum_{x \in {0 0, 1 1}^{t}} e^{Eu x ϕ} α_{x} |}^{2} {pecado}^{2} (\frac{1 1}{2} ϕ),

$\bar C=\frac{1}{2\pi}\int_0^{2\pi}d\phi\left|\sum_{x\in\{0,1\}^t}e^{ix\phi}\alpha_x\right|^2\sin^2\left(\half\phi\right),$

ϕ

$\phi$

Isso pode ser sucintamente expressa como

onde

\frac{1 1}{2} \sum_{x, y = 0 0}^{T - 1 1} α_{x} α_{y}^{⋆} (δ_{x, y} - \frac{1 1}{2} δ_{x, y - 1 1} - \frac{1 1}{2} δ_{x, y + 1 1}) .

$\half\sum_{x,y=0}^{T-1}\alpha_x\alpha_y^\star(\delta_{x,y}-\half\delta_{x,y-1}-\half\delta_{x,y+1}).$

min ⟨ Ψ_{0 0} | H | Ψ_{0 0} ⟩

$\min\bra{\Psi_0}H\ket{\Psi_0}$

A escolha ideal de

é o vector próprio da matriz mínimo de

H = \frac{1 1}{2} \sum_{x, y = 0 0}^{T - 1 1} (δ_{x, y} - \frac{1 1}{2} δ_{x, y - 1 1} - \frac{1 1}{2} δ_{x, y + 1 1}) | x ⟩ ⟨ y | .

$H=\half\sum_{x,y=0}^{T-1}(\delta_{x,y}-\half\delta_{x,y-1}-\half\delta_{x,y+1})\ket{x}\bra{y}.$

| Ψ_{0} ⟩

$\ket{\Psi_0}$

H

$H$

é o valor próprio mínimo

α_{x} = \sqrt{\frac{2}{T + 1}} \sin (\frac{(x + 1) π}{T + 1}),

$\alpha_x=\sqrt{\frac{2}{T+1}}\sin\left(\frac{(x+1)\pi}{T+1}\right),$

\bar{C}

$\bar C$

Crucialmente, para

grande,

\bar{C} = \frac{1}{2} - \frac{1}{2} \cos (\frac{π}{T + 1}) .

$\bar C=\half-\half\cos\left(\frac{\pi}{T+1}\right).$

T

$T$

escala como

em vez do

que teríamos obtido com a escolha de acoplamento uniforme

\bar{C}

$\bar C$

1 / T^{2}

$1/T^2$

1 / T

$1/T$

. Isso gera um benefício significativo para a análise de erros.

α_{x} = 1 / \sqrt{T}

$\alpha_x=1/\sqrt{T}$

Se você deseja obter o mesmo como relatado no jornal HHL, eu acredito que você tem que adicionar os termos $|\Psi_0\rangle$ $-\frac14\left(\ket{0}\bra{T-1}+\ket{T-1}\bra{0}\right)$

— DaftWullie
fonte

Algoritmo quântico para sistemas lineares de equações (HHL09): Etapa 2 - O que é

Questões:

1. Definições

1.1 Registrar nomes

2. Sobre :|Ψ0⟩|Ψ0⟩\left|\Psi_0\right>

3. Preparação de :|Ψ0⟩|Ψ0⟩\left|\Psi_0\right>

4. Simulação Hamiltoniana:

2. Sobre : $\left|\Psi_0\right>$

3. Preparação de : $\left|\Psi_0\right>$