Qual é o estado da arte atual na solução de EDPs parabólicas de maior dimensão (equação de Schrödinger multi-elétron)

Qual é o estado da arte atual para resolver EDPs parabólicas de maior dimensão (3-10) no domínio complexo com pólos simples (da forma ) e absorvendo condições de contorno?$\frac{1}{|\vec{r}_1 - \vec{r}_2|}$

Especificamente, estou interessado em resolver a equação de Schrödinger multi-elétrons:

$\left( \sum_i \sum_{j\neq i}\left[ -\frac{\nabla_i^2}{2 m} - \frac{Z_i Z_j}{|\vec{r}_i - \vec{r}_j|} + V(\vec{r}_i, t) \right]\right)\psi = -i\partial_t \psi$

Para uma molécula diatômica com mais de 1 elétron.

As soluções para a equação estão em Se o número de elétrons forpequeno o suficiente,você pode simplesmente usar qualquermétodotradicional. Como um método de discretização de domínio (Diferença Finita, Elemento Finito, Elemento Limite) ou um método pseudoespectral. Como resolver esta equação não é mais difícil do que resolver uma equação de onda multidimensional.

No caso de sistemas maiores, é necessário algum truque para obter a solução. Substituímos a interação elétron-elétron pela interação de um elétron por uma nuvem de elétrons (uma aproximação do campo médio do resto deles) e depois resolvemos de forma autoconsistente (devido à não linearidade que vem do campo médio prazo). Isso é feito em Hartree-Fock e Teoria Funcional da Densidade (DFT). Onde a equação diferencial original é transformada em uma formulação variacional.

Atualmente, a DFT é o método mais comum, e a vantagem é que todas as equações são formuladas em termos de densidade eletrônica e não em termos de equações de onda. Então, as equações estão em um espaço tridimensional. Um livro que descreve esses dois métodos é

• Thijssen, Jos. Física computacional. Cambridge University Press, 2007. Link da Amazon .

Deseja resolver de 3 a 10 sistemas de partículas (3D por partícula)? Tanto quanto sei, as teorias de campo médias não funcionam especialmente bem para tão poucas partículas, mas parece que houve um trabalho de DFT em moléculas diatômicas.

É um sistema em que Born-Oppenheimer é válido? Nesse caso, posso estar inclinado a expandir a função de onda eletrônica usando uma combinação linear de determinantes de Slater, possivelmente usando uma grade esparsa ou grades esparsas espectrais. Este artigo talvez possa ajudar .

Outra opção é tentar usar uma abordagem de ligação rígida, embora o fato de você ter mencionado a absorção das condições de contorno sugere que você pode estar pensando em problemas que envolvem ionização / dissociação. A TB seria útil principalmente se você estivesse tentando aproximar estados de baixo nível.

Possivelmente algo como o método Hartree-Fock multi-configuracional e dependente do tempo poderia funcionar aqui MCTDHF .

Finalmente, você pode olhar para os métodos quânticos de Monte Carlo. Estes são os métodos pelos quais modelos funcionais de troca e correlação para átomos únicos são obtidos para fazer cálculos de DFT. Parece que existem extensões poliatômicas. (Estou sem privilégios de link).

$M$$3M$$N$$N$$N^{3M}$$M$$N=10$$10^9$

A partir dessa consideração, não é possível considerar o problema com todos os elétrons ao mesmo tempo - você precisa se restringir a um ou dois elétrons por vez. Isso naturalmente leva a métodos como o método Hartree Fock, que itera sobre elétrons, mantendo o resto do sistema fixo.

Não conheço bem o campo, mas imagino que haja vários artigos de revisão altamente citados e bem escritos sobre o assunto.