Convergência assintótica da solução a um pde parabólico à solução de um pde elíptico

Suponha que eu tenha o sistema parabólico com condições de contorno de Dirichlet e condição inicial

{você}_{t} = \nabla \cdot (k (x) \nabla você) + f, (x, t) \in Ω \times Eu

$u_t=\nabla\cdot(k(x)\nabla u)+f,\quad (x,t)\in\Omega\times I$

você = g, x \in \partial Ω

$u=g, \quad x\in\partial\Omega$

você (x, t) = h, t = 0

$u(x,t)= h,\quad t=0.$

Muitas vezes, na engenharia, estamos mais interessados no comportamento assintótico (estado estacionário) desse PDE do que no comportamento transitório. Então, às vezes negligenciar o tempo o termo derivado e resolver o sistema elíptica vez. A suposição é que, em um tempo infinito, .

- \nabla \cdot (k (x) \nabla você) = f, (x, t) \in Ω \times Eu

$-\nabla\cdot(k(x)\nabla u)=f,\quad (x,t)\in\Omega\times I$

lim_{t \to \infty} {você}_{p uma r uma b o eu Eu c} (x, t) = {você}_{e eu eu Eu p t Eu c} (x, t)

$\lim_{t\rightarrow \infty}u_{\mathrm{parabolic}}(x,t)= u_{\mathrm{elliptic}}(x,t)$

Observei que quando $f\equiv 0$ , esse limite é verdadeiro, mas não tenho certeza se esse é o caso de arbitrário $f$ ou se existem outras condições necessárias para garantir que esse limite seja verdadeiro. As condições de contorno precisam convergir assintoticamente para um valor constante para que a solução parabólica converja para a solução elíptica?

Embora minha pergunta seja formulada no caso contínuo, também estou curioso para saber se as mesmas condições são verdadeiras para o caso discreto. Ou seja, supondo que eu use um esquema de diferenças finitas estável e consistente para aproximar e , devo esperar se e são discretizados na mesma grade espacial e ? $u_{\mathrm{parabolic}}$ $u_{\mathrm{elliptic}}$

lim_{t \to \infty} {você}_{p uma r uma b o eu Eu c}^{f d m} (x, t) = {você}_{e eu eu Eu p t Eu c}^{f d m} (x, t)

$\lim_{t\rightarrow \infty}u_{\mathrm{parabolic}}^\mathrm{fdm}(x,t)= u_{\mathrm{elliptic}}^\mathrm{fdm}(x,t)$

u_{e l l i p t i c}^{f d m}

$u_{\mathrm{elliptic}}^\mathrm{fdm}$

u_{p a r a b o l i c}^{f d m}

$u_{\mathrm{parabolic}}^\mathrm{fdm}$

Δ t \to \infty

$\Delta t\rightarrow\infty$

— Paulo
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Sim, com as condições de contorno de Dirichlet, você sempre tem convergência exponencial para o estado intermediário. Qualquer livro PDE terá uma prova. Para uma boa explicação de uma perspectiva numérica, consulte o capítulo 2 do livro FDM de LeVeque.

— David Ketcheson
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O mesmo deveria acontecer se houvesse condições variadas (neumann e dirichlet), certo?

— Paul

@Paul Sim, o único caso difícil em 1D é quando os dois limites são Neumann.

— David Ketcheson