Convergência assintótica da solução a um pde parabólico à solução de um pde elíptico


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Suponha que eu tenha o sistema parabólico com condições de contorno de Dirichlet e condição inicial

vocêt=(k(x)você)+f,(x,t)Ω×Eu
você=g,xΩ
você(x,t)=h,t=0

Muitas vezes, na engenharia, estamos mais interessados ​​no comportamento assintótico (estado estacionário) desse PDE do que no comportamento transitório. Então, às vezes negligenciar o tempo o termo derivado e resolver o sistema elíptica vez. A suposição é que, em um tempo infinito, .lim t u p a r a b o l i c ( x , t ) = u e l l i p t i c ( x , t )

-(k(x)você)=f,(x,t)Ω×Eu
limtvocêpumarumaboeuEuc(x,t)=vocêeeueuEuptEuc(x,t)

Observei que quando f0 0 , esse limite é verdadeiro, mas não tenho certeza se esse é o caso de f arbitrário fou se existem outras condições necessárias para garantir que esse limite seja verdadeiro. As condições de contorno precisam convergir assintoticamente para um valor constante para que a solução parabólica converja para a solução elíptica?

Embora minha pergunta seja formulada no caso contínuo, também estou curioso para saber se as mesmas condições são verdadeiras para o caso discreto. Ou seja, supondo que eu use um esquema de diferenças finitas estável e consistente para aproximar e , devo esperar se e são discretizados na mesma grade espacial e ?vocêpumarumaboeuEucvocêeeueuEuptEuc

limtvocêpumarumaboeuEucfdm(x,t)=vocêeeueuEuptEucfdm(x,t)
vocêeeueuEuptEucfdmvocêpumarumaboeuEucfdmΔt

Respostas:


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Sim, com as condições de contorno de Dirichlet, você sempre tem convergência exponencial para o estado intermediário. Qualquer livro PDE terá uma prova. Para uma boa explicação de uma perspectiva numérica, consulte o capítulo 2 do livro FDM de LeVeque.


O mesmo deveria acontecer se houvesse condições variadas (neumann e dirichlet), certo?
Paul

@Paul Sim, o único caso difícil em 1D é quando os dois limites são Neumann.
David Ketcheson
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