Qual é o estado da arte na computação integral altamente oscilatória?

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Qual é o estado da arte na aproximação de integrais altamente oscilatórias em uma dimensão e dimensões superiores à precisão arbitrária?

quadrature precision numerical-analysis

— Quadrescência
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É ruim .. nenhum método geral até agora .. Apenas várias tentativas, mas esperamos que falhem de vez em quando ... Alguns artigos afirmam que eles têm o jackpot, mas quando parece bom demais para ser verdade ... é.

@Gigi: Bem-vindo ao SciComp! Seu comentário é um pouco vago; você poderia explicar por que você acha que o estado da arte na aproximação de integrais altamente oscilatórias é ruim?

— Geoff Oxberry

Bem, é verdade que ainda não existe uma "bala mágica" no cálculo de integrais altamente oscilatórias, mas nos contentamos com o que temos e sempre agradecemos se eles funcionarem.

— JM

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Não estou totalmente familiarizado com o que agora é feito para cubaturas (integração multidimensional), portanto, vou me restringir a fórmulas de quadratura.

Existem vários métodos eficazes para a quadratura de integrais oscilatórias. Existem métodos adequados para integrais oscilatórias finitas e existem métodos para integrais oscilatórias infinitas.

Para integrais oscilatórias infinitas, dois dos métodos mais eficazes usados são o método de Longman e a quadratura exponencial dupla modificada devido a Ooura e Mori. (Mas veja também esses dois trabalhos de Arieh Iserles.)

O método de Longman baseia-se na conversão da integral oscilatória em uma série alternada dividindo o intervalo de integração e, em seguida, somando a série alternada com um método de transformação de sequência. Por exemplo, ao integrar uma integral oscilatória da forma

\int_{0 0}^{\infty} f (t) pecado t d t

$\int_0^\infty f(t)\sin\,t\mathrm dt$

um converte isso na soma alternada

\sum_{k = 0 0}^{\infty} \int_{k π}^{(k + 1) π} f (t) pecado t d t

$\sum_{k=0}^\infty \int_{k\pi}^{(k+1)\pi} f(t)\sin\,t\mathrm dt$

Os termos dessa soma alternada são calculados com algum método de quadratura como o esquema de Romberg ou a quadratura gaussiana. O método original de Longman usou a transformação de Euler , mas as implementações modernas substituem Euler por métodos de aceleração de convergência mais poderosos, como a transformação Shanks ou Levin .

O método da quadratura exponencial dupla , por outro lado, faz uma alteração inteligente das variáveis e, em seguida, usa a regra trapezoidal para avaliar numericamente a integral transformada.

Para integrais oscilatórias finitas, Piessens (um dos colaboradores do QUADPACK) e Branders, em dois artigos , detalham uma modificação da quadratura de Clenshaw-Curtis (ou seja, construindo uma expansão polinomial de Chebyshev da parte não-oscilatória do integrando). O método de Levin , por outro lado, usa um método de colocação para a quadratura. (Disseram-me que agora existe uma versão mais prática do modo de espera antigo, o método de Filon, mas não tenho experiência com ele.)

Esses são os métodos que eu lembro de imediato; Tenho certeza que esqueci outros bons métodos para integrais oscilatórias. Editarei esta resposta mais tarde, se me lembrar delas.

— JM
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$\sin(t)$ $\exp(it)$ $J_0(t)$ $\exp(i g(t))$ $w(t)$

A princípio, os métodos de integração oscilatória focavam em osciladores específicos. Como JM disse, os proeminentes incluem o método de Filon e o método Clenshaw-Curtis (esses dois estão intimamente relacionados) para integrais de intervalo finito, e métodos baseados em extrapolação em série e o método de dupla exponencial de Ooura e Mori para integrais de intervalo infinito.

Mais recentemente, alguns métodos gerais foram encontrados. Dois exemplos:

$\exp(i g(t))$ $w(t)$
O método de Huybrechs e Vandewalle baseado na continuação analítica ao longo de um caminho complexo em que o integrando não é oscilatório ( Huybrechs e Vandewalle 2006 ).

Não é necessária distinção entre métodos para integrais de faixa finita e infinita para os métodos mais gerais, uma vez que uma transformação compactadora pode ser aplicada a uma integral de faixa infinita, levando a uma integral oscilatória de faixa finita que ainda pode ser tratada com o método geral, embora com um oscilador diferente.

O método de Levin pode ser estendido para várias dimensões iterando as dimensões e outras formas, mas, até onde eu sei, todos os métodos descritos na literatura até agora têm pontos de amostra que são um produto externo dos pontos de amostra unidimensionais ou alguma outra coisa que cresce exponencialmente com a dimensão, logo sai do controle. Não conheço métodos mais eficientes para altas dimensões; se fosse possível encontrar alguma amostra em uma grade esparsa em altas dimensões, seria útil em aplicações.

Criar rotinas automáticas para os métodos mais gerais pode ser difícil na maioria das linguagens de programação (C, Python, Fortran, etc.) nas quais você normalmente espera programar seu integrando como uma função / rotina e passá-lo para a rotina do integrador, porque quanto mais métodos gerais precisam conhecer a estrutura do integrando (quais partes parecem oscilatórias, que tipo de oscilador, etc.) e não podem tratá-lo como uma "caixa preta".

— Andrew Moylan
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O artigo da Huybrechs / Vandewalle é algo que eu ainda não vi, então marque com +1 isso. Parece ser semelhante à pesquisa feita por Temme e outros para avaliar funções especiais, exceto que expansões assintóticas não estão envolvidas no Huybrechs / Vandewalle. Além disso, acho que uma abordagem semelhante foi feita para o primeiro problema do desafio de cem dígitos de Trefethen por alguns solucionadores.

— JM

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Você também pode verificar o trabalho de Marnix Van Daele e co-autores. Veja, por exemplo, isto e isto .

— GertVdE
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