Como usar o método delta para erros padrão de efeitos marginais?

Estou interessado em entender melhor o método delta para aproximar os erros padrão dos efeitos marginais médios de um modelo de regressão que inclui um termo de interação. Analisei questões relacionadas no método delta, mas nenhuma forneceu exatamente o que estou procurando.

Considere os seguintes dados de exemplo como um exemplo motivador:

set.seed(1)
x1 <- rnorm(100)
x2 <- rbinom(100,1,.5)
y <- x1 + x2 + x1*x2 + rnorm(100)
m <- lm(y ~ x1*x2)

Estou interessado nos efeitos marginais médios (AMEs) de x1e x2. Para calcular isso, basta fazer o seguinte:

cf <- summary(m)$coef
me_x1 <- cf['x1',1] + cf['x1:x2',1]*x2 # MEs of x1 given x2
me_x2 <- cf['x2',1] + cf['x1:x2',1]*x1 # MEs of x2 given x1
mean(me_x1) # AME of x1
mean(me_x2) # AME of x2

Mas como uso o método delta para calcular os erros padrão desses AMEs?

Eu posso calcular o SE para essa interação específica manualmente:

v <- vcov(m)
sqrt(v['x1','x1'] + (mean(x2)^2)*v['x1:x2','x1:x2'] + 2*mean(x2)*v['x1','x1:x2'])

Mas eu não entendo como usar o método delta.

Idealmente, estou procurando alguma orientação sobre como pensar (e codificar) o método delta para AMEs de qualquer modelo de regressão arbitrário. Por exemplo, esta pergunta fornece uma fórmula para o SE para um efeito de interação específico e este documento de Matt Golder fornece fórmulas para uma variedade de modelos interativos, mas eu quero entender melhor o procedimento geral para calcular SEs de AMEs em vez da fórmula para SE de qualquer AME em particular.

O método delta simplesmente diz que, se você pode representar uma variável auxiliar, pode representar como uma função de variáveis ​​aleatórias distribuídas normalmente, essa variável auxiliar é aproximadamente normalmente distribuída com uma variação correspondente a quanto o auxiliar varia em relação às variáveis ​​normais (EDIT: como apontado por Alecos Papadopoulos, o método delta pode ser afirmado de maneira mais geral, de modo que não exija normalidade assintótica). A maneira mais fácil de pensar nisso é como uma expansão de Taylor, onde o primeiro termo de uma função é a média e a variação vem dos termos de segunda ordem. Especificamente, se é uma função do parâmetro β e b é, um estimador normalmente distribuído consistente para que o parâmetro: g $g$$\beta$$b$ Dado que β é uma constante eb é um estimador consistente de β , podemos dizer:

$$g(b) \approx g(\beta) + \nabla g(\beta)^\prime (b - \beta)$$ $\beta$$b$$\beta$ Neste caso, b é o seu OLS estimar, e g é a AME. Você pode escrever esse AME específico como: g ( b 1 , b 2 ) = b 1 + b 2  média ( x 2 ) se você adotou o gradiente dessa função (lembre-se, uma função doscoeficientesnão de $$\sqrt{n}\left(g(b)-g(\beta)\right)\,\xrightarrow{D}\,N\left(0, \nabla g(\beta)^\prime \cdot \Sigma_b \cdot \nabla g(\beta)\right)$$ $b$$g$ $$g(b_1,b_2)=b_1+b_2 \text{ mean}(x_2)$$ ), seria: [ 1 $x_2$ e a matriz de variância-covariância de b pode ser: [ s 11 s 12 s 12 s 22 ] Se você inserir isso na fórmula de variância e fazer uma álgebra de matriz, terá a mesma expressão que deseja. $$[1,\,\, \text{mean}(x_2)]^\prime$$ $b$ $$\left[ \begin{matrix} s_{11} & s_{12} \\ s_{12} & s_{22} \end{matrix}\right]$$

$g$RnumDeriv

ADENDO: Nesse caso específico, o Rcódigo seria:

v <- vcov(m)

# Define function of coefficients. Note all coefficients are included so it 
# will match dimensions of regression coefficients, this could be done more 
# elegantly in principle
g <- function(b){
    return(b[2] + b[4] * mean(x2))
}

require(numDeriv) # Load numerical derivative package

grad_g <-  jacobian(g, m$coef) # Jacobian gives dimensions, otherwise same as
                               # gradient 

sqrt(grad_g%*% v %*% t(grad_g)) # Should be exactly the same 

$g$