Qual é a fórmula para o valor p ajustado de Benjamini-Hochberg?


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Eu entendo o procedimento e o que ele controla. Então, qual é a fórmula para o valor de p ajustado no procedimento BH para comparações múltiplas?


Só agora eu percebi que o BH original não produzia valores p ajustados, apenas ajustava a condição de (não) rejeição: https://www.jstor.org/stable/2346101 . Gordon Smyth introduziu valores de BH ajustados em 2002 de qualquer maneira, então a questão ainda se aplica. É implementado em R como p.adjustcom o método BH.

Respostas:


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O famoso artigo de Benjamini & Hochberg (1995) descreveu o procedimento para aceitar / rejeitar hipóteses com base no ajuste dos níveis de alfa. Esse procedimento possui uma reformulação equivalente direta em termos de valores de ajustados , mas não foi discutido no artigo original. De acordo com Gordon Smyth , ele introduziu valores de ajustados em 2002 ao implementar em R. Infelizmente, não há citação correspondente; portanto, sempre ficou claro para mim o que se deve citar se usar valores de ajustados para BH.ppp.adjustp

Acontece que o procedimento é descrito em Benjamini, Heller, Yekutieli (2009) :

Uma maneira alternativa de apresentar os resultados desse procedimento é apresentar os valores de ajustados . Os valores ajustados para BH são definidos comopp

p(i)BH=min{minji{mp(j)j},1}.

Essa fórmula parece mais complicada do que realmente é. Diz:

  1. Primeiro, encomende todos os valores de pequeno a grande. Em seguida, multiplicar cada -valor pelo número total de testes e dividir por sua ordem de classificação.ppm
  2. Segundo, certifique-se de que a sequência resultante não diminua: se ela começar a diminuir, faça o valor anterior igual ao subsequente (repetidamente, até que toda a sequência se torne não decrescente).p
  3. Se qualquer valor- maior que 1, faça-o igual a 1.p

Essa é uma reformulação direta do procedimento original de BH de 1995. Pode haver um artigo anterior que introduzisse explicitamente o conceito de valores de ajustados por BH, mas não tenho conhecimento de nenhum.p


Atualizar. A @Zenit descobriu que Yekutieli & Benjamini (1999) descreviam a mesma coisa já em 1999:

insira a descrição da imagem aqui


Essa é a resposta que eu estava esperando, +1. Lembro-me de ler também sobre a implementação de Gordon Smyth do valor de p ajustado e sem saber quem citar, é legal ver que há uma citação "canônica" para isso.
Firebug

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Acredito que exista uma referência ainda mais antiga: Yekutieli e Benjamini (1999) (versão em pdf disponível aqui ). A definição 2.4 descreve como o procedimento original de FDR de 1995 pode ser reformulado em termos de valores de p ajustados. Crédito para este post do blog onde eu descobri isso.
Zenit

@Zenit Oh uau! Ótima descoberta! Eu devo atualizar minha resposta.
Ameba diz Reinstate Monica

Obrigado pela fonte @ Zenit! É levemente estranho como um método estatístico tão onipresente não tem uma referência bem conhecida.
Firebug #

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p0pz0N0 p0N

  • FDR (p0)=p0N0N

  • FDR (pi)=min(FDR(pi),FDR(pi+1))


Agora vamos entender isso. A ideia subjacente (bayesiana) é que as observações provêm de uma mistura de duas distribuições:

  • π0Nf0(z)
  • (1π0)Nf1(z)

O que se observa é a mistura desses dois:

  • f(z)=π0f0(z)+(1π0)f1(z)

insira a descrição da imagem aqui

As definições (bayesianas) são:

  • Fdr=π0(1F0(z0))(1F(z))
  • fdr=π0f0(z0)f(z)

π01

insira a descrição da imagem aqui

(Baseado na inferência estatística da era computacional de Efron e Tibshirani )

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