Gere números aleatórios a partir da "distribuição uniforme inclinada" da teoria matemática

Para alguma finalidade, eu preciso gerar números aleatórios (dados) a partir da distribuição "uniforme inclinado". A "inclinação" desta distribuição pode variar em algum intervalo razoável e, em seguida, minha distribuição deve mudar de uniforme para triangular com base na inclinação. Aqui está minha derivação:

Vamos simplificar e gerar os dados de a (azul, vermelho é distribuição uniforme). Para obter a função de densidade de probabilidade da linha azul, preciso apenas da equação dessa linha. Portanto:$0$$B$

$$f(x) = tg(\varphi)x + Y(0)$$

e desde (foto):

$$\begin{align} tg(\varphi) &= \frac{1/B - Y(0)}{B/2} \\[5pt] Y(0) &= \frac{1}{B} - tg(\varphi)\frac{B}{2} \end{align}$$

Nós temos que:

$$f(x) = tg(\varphi)x + \left(\frac{1}{B} - tg(\varphi)\frac{B}{2} \right)$$

Como é PDF, CDF é igual a:$f(x)$

$$F(x) = \frac{tg(\varphi)x^2}{2} + x\left(\frac{1}{B} - tg(\varphi)\frac{B}{2} \right)$$

Agora vamos fazer um gerador de dados. A idéia é que, se eu consertar , números aleatórios podem ser computados se obtivermos números de de uma distribuição uniforme, conforme descrito aqui . Portanto, se eu precisar de 100 números aleatórios da minha distribuição com fixo , então para qualquer da distribuição uniforme há da "distribuição inclinada" e podem ser computados como:$\varphi, B$$x$$(0,1)$$\varphi, B$$t_i$$(0,1)$$x_i$$x$

$$\frac{tg(\varphi)x_i^2}{2} + x_i\left(\frac{1}{B} - tg(\varphi)\frac{B}{2} \right) - t_i = 0$$

A partir dessa teoria, criei código em Python que se parece com:

import numpy as np
import math
import random
def tan_choice():
    x = random.uniform(-math.pi/3, math.pi/3)
    tan = math.tan(x)
    return tan

def rand_shape_unif(N, B, tg_fi):
    res = []
    n = 0
    while N > n:
        c = random.uniform(0,1)
        a = tg_fi/2
        b = 1/B - (tg_fi*B)/2
        quadratic = np.poly1d([a,b,-c])
        rots = quadratic.roots
        rot = rots[(rots.imag == 0) & (rots.real >= 0) & (rots.real <= B)].real
        rot = float(rot)
        res.append(rot)
        n += 1
    return res

def rand_numb(N_, B_):
    tan_ = tan_choice()
    res = rand_shape_unif(N_, B_, tan_)
    return res

Mas os números gerados rand_numbsão muito próximos de zero ou de B (que eu defini como 25). Não há variação, quando eu gero 100 números, todos eles são próximos de 25 ou todos são próximos de zero. Em uma corrida:

num = rand_numb(100, 25)
numb
Out[140]: 
[0.1063241766836174,
 0.011086243095907753,
 0.05690217839063588,
 0.08551031241199764,
 0.03411227661295121,
 0.10927087752739746,
 0.1173334720516189,
 0.14160616846114774,
 0.020124543145515768,
 0.10794924067959207]

Portanto, deve haver algo muito errado no meu código. Alguém pode me ajudar com minha derivação ou código? Estou louco por isso agora, não vejo nenhum erro. Suponho que o código R me dê resultados semelhantes.

Sua derivação está bem. Observe que para obter uma densidade positiva em , você deve restringir No seu código , você deve entre , é aí que seu código falha.$(0,B)$

$$B^2 \tan\phi < 2.$$ $B = 25$$\phi$$\pm\tan^{-1}{2\over 625}$

Você pode (e deve) Evite usar um solucionador quadrático e, em seguida, selecione as raízes entre 0 e . A equação polinomial quadrática em a ser resolvida é com Pela construção e ; também aumenta em .$B$$x$

$$F(x) = t$$ F(0)=0F(B)=1F(0,B $$F(x) = {1\over 2} \tan \phi \cdot x^2 + \left( {1\over B} - {B\over 2} \tan \phi \right) x.$$ $F(0) = 0$$F(B) = 1$$F$$(0,B)$

A partir disso, é fácil ver que, se , a parte da parábola em que estamos interessados ​​faz parte do lado direito da parábola, e a raiz a manter é a mais alta das duas raízes, que é Pelo contrário, se , a parábola está de cabeça para baixo e temos interesse em sua esquerda parte. A raiz a manter é a mais baixa. Levando em consideração o sinal de , parece que essa é a mesma raiz (ou seja, aquela com ) que no primeiro caso.x = $\tan \phi > 0$tanϕ<0tanϕ+

$$x = {1\over \tan \phi} \left( {B\over 2} \tan \phi - {1\over B} + \sqrt{ \left( {B\over 2} \tan \phi - {1\over B} \right)^2 + 2 \tan \phi \cdot t}. \right)$$ $\tan\phi < 0$$\tan\phi$$+\sqrt\Delta$

Aqui está um código R.

phi <- pi/8; B <- 2
f <- function(t) (-(1/B - 0.5*B*tan(phi)) + 
       sqrt( (1/B - 0.5*B*tan(phi))**2 + 2 * tan(phi) * t))/tan(phi)
hist(f(runif(1e6)))

E com :$\phi < 0$

phi <- -pi/8
hist(f(runif(1e6)))