Em um cenário em que se observa distribuído a partir de uma distribuição com densidade , gostaria de saber se existe um estimador imparcial (baseado nos ) da distância de Hellinger a outra distribuição com densidade , ou seja,
Em um cenário em que se observa distribuído a partir de uma distribuição com densidade , gostaria de saber se existe um estimador imparcial (baseado nos ) da distância de Hellinger a outra distribuição com densidade , ou seja,
Respostas:
Nenhuma estimador quer de ou de H 2 existe para f a partir de qualquer razoavelmente ampla classe não paramétrico de distribuições.
Podemos mostrar isso com o argumento lindamente simples de
Bickel e Lehmann (1969). Estimação imparcial em famílias convexas . Os Anais de Estatística Matemática, 40 (5) 1523-1535. ( projeto euclides )
Corrija algumas distribuições , F e G , com as densidades correspondentes f 0 , f e g . Deixe- H ( F ) significam H ( f , f 0 ) , e deixá- H ( X ) ser um estimador de H ( F ) com base em n amostras iid X i ~ F .
Suponha-se que H é imparcial para amostras de qualquer distribuição da forma H α : = α F + ( 1 - α ) L . Mas então Q ( α )
Agora, vamos nos especializar em um caso razoável e mostrar que o correspondente não é polinomial.
Seja alguma distribuição que tenha densidade constante em [ - 1 , 1 ] : f 0 ( x ) = c para todos | x | ≤ 1 . (Seu comportamento fora desse intervalo não importa.) Seja F alguma distribuição suportada apenas em [ - 1 , 0 ] e G alguma distribuição suportada apenas em [ 0 , 1 ] .
Agora queBF:=∫R√
is not a polynomial of any finite degree. Thus, no estimator can be unbiased for on all of the distributions with finitely many samples.
Likewise, because is also not a polynomial, there is no estimator for which is unbiased on all of the distributions with finitely many samples.
Isso exclui praticamente todas as classes de distribuição não paramétricas razoáveis, exceto aquelas com densidades delimitadas abaixo (uma suposição de que as análises não paramétricas às vezes fazem). Você provavelmente poderia matar essas classes também com um argumento semelhante apenas tornando as densidades constantes ou algo assim.
Não sei como construir (se existir) um estimador imparcial da distância de Hellinger. Parece possível construir um estimador consistente. Temos alguma densidade conhecida fixae uma amostra aleatória from a density . We want to estimate