Por que controlar o FDR é menos rigoroso do que controlar o FWER?

Eu li que controlar o FDR é menos rigoroso do que controlar o FWER, como na Wikipedia :

Os procedimentos de controle de FDR exercem um controle menos rigoroso sobre a descoberta falsa em comparação com os procedimentos da taxa de erro familiar (FWER) (como a correção de Bonferroni). Isso aumenta o poder ao custo de aumentar a taxa de erros do tipo I, ou seja, rejeitar a hipótese nula de nenhum efeito quando deve ser aceita.

Mas eu queria saber como isso é mostrado matematicamente?

Existe alguma relação entre FDR e FWER?

hypothesis-testing multiple-comparisons false-discovery-rate

— StackExchange for All
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Você leu o artigo original? É tudo o que se poderia esperar de um artigo estatístico: uma única idéia fundamental, uma história clara e concisa para contar, um exemplo útil e (breves!) Provas precisas.

— cardeal

De fato, @cardinal está certo de que o artigo é o mais claro possível. Então, pelo que vale a pena, caso você não tenha acesso ao artigo, aqui está uma versão um pouco elaborada de como Benjamini – Hochberg argumenta:

O FDR é o valor esperado da proporção de falsas rejeições para todas as rejeições . Agora, é, obviamente, a soma de rejeições falsas e corretas; chame o último . $Q_e$ $v$ $r$ $r$ $s$

Em resumo, (usando letras maiúsculas para variáveis aleatórias e letras minúsculas para valores realizados),

Q_{e} = E (\frac{V}{R}) = E (\frac{V}{V + S}) =: E (Q) .

$Q_e=E\left(\frac{V}{R}\right)=E\left(\frac{V}{V+S}\right)=:E\left(Q\right).$

Toma-se se . $Q=0$ $R=0$

Agora, existem duas possibilidades: ou todos os nulos são verdadeiros ou apenas deles são verdadeiros. No primeiro caso, não pode haver rejeições corretas, portanto . Assim, se houver alguma rejeição ( ), , caso contrário, . Conseqüentemente, $m$ $m_0<m$ $r=v$ $r\geq 1$ $q=1$ $q=0$

F D R = E (Q) = 1 \cdot P (Q = 1) + 0 \cdot P (Q = 0) = P (Q = 1) = P (V \geq 1) = F W E R

$\newcommand{\FDR}{\mathrm{FDR}}\newcommand{\FWER}{\mathrm{FWER}}\FDR=E(Q)=1\cdot P(Q=1)+0\cdot P(Q=0)=P(Q=1)=P(V \geq 1)=\FWER$

Portanto, neste caso, de modo que qualquer procedimento que controla o trivialmente também controla o e vice-versa. $\FDR=\FWER$ $\FDR$ $\FWER$

No segundo caso em que , se (portanto, se houver pelo menos uma rejeição falsa), obviamente temos (sendo esta uma fração com também no denominador) que . Isto implica que a função de indicador que assume o valor 1 se houver pelo menos uma falsa rejeição, nunca será inferior a , . Agora, tenha expectativa de ambos os lados da desigualdade, que pela monotonicidade de $m_0<m$ $v>0$ $v$ $v/r\leq 1$ $\mathbf 1_{V\geq 1}$ $Q$ $\mathbf 1_{V\geq 1}\geq Q$ $E$ deixa a desigualdade intacta,

E (1_{V \geq 1}) \geq E (Q) = F D R

$E(\mathbf 1_{V\geq 1})\geq E(Q)=\FDR$

O valor esperado de uma função indicadora é a probabilidade do evento no indicador, temos , que mais uma vez é o . $E(\mathbf 1_{V\geq 1})=P(V\geq 1)$ $\FWER$

Assim, quando temos um procedimento que controla no sentido de , devemos ter esse . $\FWER$ $\FWER\leq \alpha$ $\FDR\leq\alpha$

Por outro lado, tendo controlo em algum pode vir com um substancialmente maior . Intuitivamente, aceitar uma fração esperada diferente de zero de rejeições falsas ( ) de um total potencialmente grande de hipóteses testadas pode implicar uma probabilidade muito alta de pelo menos uma rejeição falsa ( ). $\FDR$ $\alpha$ $\FWER$ $\FDR$ $\FWER$

Portanto, um procedimento deve ser menos rigoroso quando apenas o controle é desejado, o que também é bom para energia. É a mesma idéia que em qualquer teste de hipótese básica: quando você testa no nível de 5%, rejeita com mais frequência (nulos corretos e falsos) do que quando testa no nível de 1% simplesmente porque possui um valor crítico menor. $\FDR$

— Christoph Hanck
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(+1) Boa exposição. Obviamente, no primeiro caso, também podemos dizer que o controle FWER implica o controle FDR (que é o problema em questão). Além disso, pode ser interessante ressaltar que essa propriedade não possui premissas distributivas (por exemplo, independência) nas estatísticas de teste, diferentemente do procedimento fornecido no artigo original para controle do FDR.

— cardeal