Testando se dois coeficientes de regressão são significativamente diferentes (em R, idealmente)

Se for uma pergunta duplicada, aponte para o caminho certo, mas as perguntas semelhantes que encontrei aqui não foram suficientemente semelhantes. Suponha que eu estime o modelo

$$Y=\alpha + \beta X + u$$

e encontre esse . No entanto, verifica-se que , e eu suspeito e, em particular, que . Portanto, estimo o modelo e encontro evidências significativas de . Como posso então testar se ? Eu considerei executar outra regressão E testar se . É este o melhor caminho?$\beta>0$$X=X_1+X_2$$\partial Y/\partial X_1 \ne \partial Y / \partial X_2$$\partial Y/\partial X_1 > \partial Y / \partial X_2$

$$Y=\alpha + \beta_1 X_1 + \beta_2 X_2 +u$$ $\beta_1,\beta_2>0$$\beta_1> \beta_2$ $$Y=\alpha +\gamma(X_1 - X_2) + u$$ $\gamma>0$

Além disso, preciso generalizar a resposta para muitas variáveis, ou seja, suponha que temos onde para cada , , e eu gostaria de testar para cada se .

$$Y=\alpha + \beta^1 X^1 + \beta ^2 X^2 + \dots + \beta^nX^n + u$$ $j=1,\dots,n$$X^j=X_1^j+X_2^j$$j$$\partial Y/\partial X_1^j \ne \partial Y / \partial X_2^j$

A propósito, estou trabalhando principalmente na R.

É este o melhor caminho?

Não, isso não fará realmente o que você deseja.

Deixe .$\gamma = \beta_1 - \beta_2$

$\beta_1 X_1 + \beta_2 X_2 = (\gamma+\beta_2) X_1 + \beta_2 X_2 = \gamma X_1 + \beta_2 (X_1 + X_2)$ .

Portanto, o modelo se torna$Y=\alpha + \beta_1 X_1 + \beta_2 X_2 +u$$Y=\alpha + \gamma X_1 + \beta_2 (X_1 +X_2) +u$

Portanto, você fornece os preditores e e, em seguida, pode executar um teste de hipótese direta de (contra o nulo de igualdade).$X_1$$X_3=X_1+X_2$$\gamma>0$