Qual é o viés de polinômios aleatórios com baixo grau sobre GF (2)?

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Eu tenho uma pergunta sobre polinômios de baixo grau e probabilidade: Qual é a (comportamento assiptótico da) probabilidade de que um polinômio * aleatório, , acima de GF (2), com grau e n variáveis tenha . $p$ $\le d$ $bias(p) \triangleq |\Pr_{x\in\{0,1\}^n}(p(x)=0)-\Pr_{x\in\{0,1\}^n}(p(x)=1)| \gt \epsilon$

* Quando estou escrevendo polinômio aleatório com variáveis de grau $\le d$ e n, você pode pensar em cada monômio do grau total $\le d$ escolhido com probabilidade 1/2.

A única coisa relevante que conheço é uma variante de Schwartz-Zippel que afirma que, se o polinômio é inconstante, seu viés é no máximo . Portanto, para a probabilidade é exatamente que esta é a probabilidade de ser uma constante. Infelizmente, esse é bastante grande. $1-2^{1-d}$ $\epsilon=1-2^{1-d}$ $1/{2^{{n \choose 1}+\ldots+{n \choose d}}}$ $p$ $\epsilon$

— Avishay Tal
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O que é f no viés (f)?

— Tyson Williams

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O artigo "Polinômios aleatórios de baixo grau são difíceis de aproximar" de Ben-Eliezer, Hod e Lovett responde à sua pergunta. Eles mostram fortes limites na correlação de polinômios aleatórios de grau com polinômios de grau no máximo , analisando o viés de polinômios aleatórios. Veja o Lema 2: o viés de um polinômio aleatório de grau (até alguns que é linear em ) é no máximo , exceto com probabilidade . $d$ $d-1$ $d$ $d$ $n$ $2^{-\Omega(n / d)}$ $2^{-\Omega\Big(\binom{n}{\le d}\Big)}$

— david
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Oi @ David, sua resposta foi muito útil. Eu queria perguntar uma coisa por e-mail, você pode me enviar uma mensagem?

— precisa

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Sua pergunta é equivalente a limites de cauda na distribuição de peso dos códigos Reed-Muller. Distribuição de peso compreensão de códigos Reed-Muller é uma questão de idade e desafiando em teoria de codificação, e vários resultados interessantes são conhecidos sobre ele (a distribuição de peso é completamente entendido apenas para e ). Como um excelente ponto de partida, consulte "Distribuição de peso e tamanho de decodificação de lista de códigos Reed-Muller", de Tali Kaufman, Shachar Lovett, Ely Porat e as referências nele contidas. $d=1$ $d=2$

— MCH
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