Complexidade de coloração de gráficos

Suponha que é um gráfico com o número de coloração . Considere o seguinte jogo entre Alice e Bob. Em cada rodada, Alice escolhe um vértice e Bob responde com uma cor em para esse vértice. O jogo termina quando uma borda monocromática é descoberta. Seja a duração máxima do jogo em jogo ideal por ambos os jogadores (Alice deseja encurtar o jogo o máximo possível, Bob quer adiá-lo o máximo possível). Por exemplo, $G$ $d = \chi(G)$ $\{1,\ldots,d-1\}$ $X(G)$ $X(K_n) = n$ e . $X(C_{2n+1}) = \Theta(\log n)$

Este jogo é conhecido?

— Yuval Filmus
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Acho que você pode modelar isso como um jogo de Ehrenfeucht-Fraïssé .

— Tyson Williams

parece estar altamente relacionado a algoritmos gananciosos de coloração de gráficos, certo? dos quais existem muitos .... da mesma forma que os problemas do SAT, em que uma das variáveis é "forçada" após alguma passagem da DPLL ... que eu acredito que também é chamada de "espinha dorsal" no SAT

— vzn

Por que você usa d-1? Penso que é mais natural parametrizar o jogo pelo gráfico G e pelo número k de cores permitidas e considerar a quantidade análoga X (G, k). Obviamente, se k≥χ (G), Bob vence e, portanto, neste caso, X (G, k) deve ser definido como ∞ ou n + 1.

— Tsuyoshi Ito

@ Tsuyoshi:

é uma escolha arbitrária projetada para maximizar

. Na aplicação que tenho em mente,

não faz sentido.

k = d - 1

$k = d-1$

X (G)

$X(G)$

k \geq χ (G)

$k \geq \chi(G)$

— Yuval Filmus

@ Tyson: De fato,

é a complexidade da árvore de decisão do jogo em que, dada uma coloração

, queremos encontrar uma vantagem violada.

X (G)

$X(G)$

d - 1

$d-1$

G

$G$

— Yuval Filmus

Parece bastante semelhante a

Colorir online gráficos aleatórios sem criar subgráficos monocromáticos (Reto Spöhel, Torsten Mütze e Thomas Rast) Anais do 22º Simpósio Anual ACM-SIAM sobre Algoritmos Discretos (SODA '11), PR 137, 145-158.

— adrianN
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