Ordinais de fechamento para tipos indutivos com espaços de função

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Functors construídos a partir de produtos e somas finitos têm um fechamento ordinal $\omega$ , detalhado detalhadamente neste manuscrito de Francois Metayer. ou seja, podemos alcançar o tipo indutivo iterando o functor , que atinge seu ponto fixo após as iterações . $nat := \mu X. 1 + X$ $1 + X$ $\omega$

Mas uma vez que permitimos exponenciação constante, como em , então não é suficiente. $\mu X. 1 + X + (nat \rightarrow X)$ $\omega$

Estou à procura de resultados que incluam exponenciação. Que tipo de ordinais são suficientes?

Especialmente apreciada seria uma referência que apresente uma prova de que tais functores são contínuos para alguns ordinais como no manuscrito acima. $\alpha$ $\alpha$

lo.logic type-theory ct.category-theory

— Andrew Cave
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A resposta para sua pergunta depende de várias coisas, das quais a mais importante é o tamanho dos seus espaços funcionais . Eu vou explicar. Definir Como você observou em sua resposta, cada pode ser considerada internamente para ser o -ésimo cardinal regular de seu sistema. Na teoria dos conjuntos, esse tipo de dados pode ser representado por um ordinal real e é adequadamente grande.

O_{0} = n a t

$O_0 = nat$

O_{n + 1} = μ X . 1 + X + (O_{n} \to X)

$O_{n+1} = \mu X.\ 1+X+(O_n\rightarrow X)$

O_{n}

$O_n$

n

$n$

No entanto, essas construções podem ser adicionadas a alguma versão da teoria dos tipos, e a pergunta se torna: qual ordinal é necessário para dar uma interpretação teórica dos conjuntos a essa construção? Agora, se nos restringirmos a construtivos semântica, uma idéia natural é tentar interpretar cada tipo por parte do conjunto de "realizadores" deste tipo, que é um subconjunto do conjunto de -Termos, ou equivalentemente, os números naturais . $\lambda$ $\mathbb{N}$

Neste caso, é fácil mostrar que o ordinal é contável para qualquer , mas que este ordinal cresce muito rapidamente. Quão rápido? Novamente, isso depende da quantidade de liberdade que você tem ao tentar criar funções. A teoria para a construção de tais ordinais é descrita na teoria dos Ordinais Grandes Contáveis, dos quais a Wikipedia surpreendentemente tem muito a dizer. Em geral, é fácil mostrar que os ordinais em questão são menores que os ordinais da Igreja-Kleene , a menos que você permita meios não construtivos de criar funções (por exemplo, que calcula o número de pessoas ocupadas em máquinas com $O_n$ $Beaver(n)$ $n$ estados).

Isso não significa muito, exceto que, em uma teoria construtiva, você só precisa de ordinais construtivos para construir interpretações. Há um pouco mais a dizer, no entanto. Primeiro, há uma apresentação muito agradável por Thierry Coquand que detalhes que , na ausência de um eliminador de para todos os outros tipos, mas $nat$ , você pode construir em exatamente passos. $O_1$ $\epsilon_0$

Em geral, parece haver uma correspondência entre a força lógica de uma teoria de tipos e o tamanho do maior ordinal que ela pode representar dessa maneira. Essa correspondência é o assunto da Análise Ordinal , que tem sido estudada extensivamente desde o final dos anos sessenta, e ainda está sendo estudada hoje (com algumas questões surpreendentes em aberto). Aviso: o assunto é tão técnico quanto fascinante.

Espero que isto ajude.

— cody
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Acho que encontrei uma resposta que funciona em categorias suficientemente como Set. É o teorema 3.1.12 em álgebras iniciais e barras de carvão terminais: uma pesquisa de Adamek, Milius e Moss.

A resposta é que nenhum ordinal é suficiente para todos esses functores. Eles ficam arbitrariamente grandes.

$F(X) = C_0\times(A_0 \rightarrow X) + C_1\times(A_1 \rightarrow X)\;+\;...\;+\; C_n\times(A_n \rightarrow X)$ $A_i$ $\alpha$ $\beta < \alpha$ $\beta$ $\alpha$ $\alpha$ $\alpha$

$\alpha$ $\alpha$ $\alpha$

$f : A_k \rightarrow F^\alpha(0)$ $f : A_k \rightarrow \bigcup_{i<\alpha} F^i(0)$ $A_k \rightarrow F^j(0)$ $j := \mathrm{sup}_{(a:A_k)} \text{``the i such that }f(a) \text{ fits into } F^i(0)"$ $j < \alpha$ $\alpha$ $|A_k| < \alpha$

$(A_k \rightarrow \bigcup_{i<\alpha}F^i(0)) \subseteq \bigcup_{j<\alpha} (A_k \rightarrow F^j(0))$ $k$

$+$ $\times$ $F(F^\alpha(0)) \subseteq \bigcup_{j<\alpha}F(F^j(0)) = \bigcup_{j<\alpha}F^j(0) = F^\alpha(0)$ $\alpha$

$A_k$

— Andrew Cave
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