Número de ciclos hamiltonianos em gráficos aleatórios

Assumimos que . Então, o seguinte fato é bem conhecido:$G\in G(n,p),p=\frac{\ln n +\ln \ln n +c(n)}{n}$

$$\begin{eqnarray} Pr [G\mbox{ has a Hamiltonian cycle}]= \begin{cases} 1 & (c(n)\rightarrow \infty) \\ 0 & (c(n)\rightarrow - \infty) \\ e^{-e^{-c}} & (c(n)\rightarrow c) \end{cases} \end{eqnarray}$$

Quero saber os resultados sobre o número de ciclos hamiltonianos em gráficos aleatórios.

Q1 Quanto é o número esperado de ciclos hamiltonianos em ?$G(n,p)$

Q2 Qual é a probabilidade para a probabilidade de borda em ?$Pr [G \textrm{ has a *unique* Hamiltonian cycle}]$$p$$G(n,p)$

Como Yuval disse, Q1 é fácil de responder usando linearidade de expectativa (spoiler: ). Não sei a resposta exata para o Q2, mas pode ser boa o suficiente se você souber que é muito baixo: para o intervalo de p em que há pelo menos um ciclo, é válido que P [ exista mais de um ciclo | existe pelo menos um ciclo ] > 1 - 1 / n log n ou mais. Em outras palavras, uma vez que existe um ciclo, há muitos. O motivo é que, uma vez que existe um ciclo, existem cerca de n $(n-1)!p^n$$p$$P[\text{there is more than one cycle} | \text{there is at least one cycle}]>1-1/n^{\log n}$$n^2$maneiras de criar outro ciclo a partir dele trocando duas arestas do ciclo pelas duas arestas "cruzadas" (isso é chamado de "2 flip" ou algo em alguma literatura relevante). Para qualquer par de arestas, a chance de fazer isso é . Portanto, para que tudo isso falhe, a chance é ( 1 - p 2 ) n 2, que é aproximadamente e - ( p n ) 2 , que é bem pequena.$p^2$$(1-p^2)^{n^2}$$e^{-(pn)^2}$