Como mostrar que um tipo em um sistema com tipos dependentes não é habitado (isto é, fórmula não comprovável)?

Para sistemas sem tipos dependentes, como o sistema de Hindley-Milner, os tipos correspondem a fórmulas da lógica intuicionista. Sabemos que seus modelos são álgebras de Heyting e, em particular, para refutar uma fórmula, podemos restringir a uma álgebra de Heyting em que cada fórmula é representada por um subconjunto aberto de .$\mathbb{R}$

Por exemplo, se queremos mostrar que não é habitado, construímos um mapeamento partir de fórmulas para abrir subconjuntos de definindo: Em seguida, Isso mostra que a fórmula original não pode ser comprovada, pois temos um modelo em que não é verdadeira ou, de forma equivalente (pelo isomorfismo de Curry-Howard), o tipo não pode ser habitado.ϕ R ϕ ( α $\forall\alpha.\alpha\lor(\alpha\rightarrow\bot)$$\phi$$\mathbb{R}$ϕ ( α → ⊥

Outra possibilidade seria usar os quadros Kriepke .

Existem métodos semelhantes para sistemas com tipos dependentes? Como alguma generalização de álgebras de Heyting ou molduras de Kripke?

Nota: não estou solicitando um procedimento de decisão, sei que não pode haver nenhum. Estou pedindo apenas um mecanismo que permita testemunhar a impossibilidade de uma fórmula - convencer alguém de que é impossível de provar.

O fato de uma fórmula não ser comprovável pode ser essencialmente feito de duas maneiras. Com alguma sorte, poderemos mostrar, dentro da teoria dos tipos, que a fórmula implica uma que já é conhecida por não ser comprovável. A outra maneira é encontrar um modelo no qual a fórmula seja inválida, e isso pode ser bastante difícil. Por exemplo, demorou muito tempo para encontrar o modelo grupóide da teoria dos tipos dependentes, que foi o primeiro a invalidar a exclusividade das provas de identidade .

A pergunta "o que é um modelo de teoria dos tipos dependentes?" tem uma resposta um tanto complicada. Se você ignorar certas propriedades de substituição, um modelo é uma categoria fechada cartesiana localmente , e essa pode ser a resposta mais simples. Se você deseja um modelo "real", existem várias opções, consulte a página do nLab sobre modelos categóricos da teoria dos tipos dependentes . De qualquer forma, a resposta é sempre um pouco complicada porque a teoria do tipo dependente é um sistema formal bastante complexo.

Se eu sugerisse apenas um artigo sobre o assunto, provavelmente recomendaria o artigo original de Robert Seely, "Categorias fechadas localmente cartesianas e teoria dos tipos" . Se eu sugerisse outra, provavelmente seria aquela que explica o que precisa ser corrigido no artigo de Seely, por exemplo, "Sobre a interpretação da teoria dos tipos em categorias fechadas localmente cartesianas" , de Martin Hoffman .

Um recente avanço importante nessa área é a constatação de que os modelos teóricos da homotopia também são modelos da teoria dos tipos dependentes, consulte as referências homotopytypetheory.org . Isso oferece muitas possibilidades, mas é preciso agora aprender a teoria da homotopia para colocar as mãos nos modelos.