CLIQUE natural para redução de k-Color

Há claramente uma redução de CLIQUE para k-Color porque ambos são NP-Complete. Na verdade, eu posso construir um compondo uma redução de CLIQUE para 3-SAT com uma redução de 3-SAT para k-Color. O que eu quero saber é se existe uma redução direta razoável entre esses problemas. Digamos, uma redução que eu poderia explicar a um amigo rapidamente, sem precisar descrever uma linguagem intermediária como o SAT.

Como exemplo do que estou procurando, aqui está uma redução direta na direção inversa: Dado G com e algum (número de cores), faça um gráfico G 'com vértices (um por cor por vértice). Os vértices , correspondentes aos vértices e cores respectivamente, são adjacentes se e somente se e ( ou ). Uma nclique em tem apenas um vértice por vértice em , e as cores correspondentes são uma cor adequada dek k n v ′ u ′ v , u c , d v ≠ u c ≠ d v u ∉ G n G ′ G k $n$$k$$kn$$v'$$u'$$v, u$$c, d$$v \neq u$$c \neq d$$vu \not \in G$$n$$G'$$G$$k$$G$. Da mesma forma, qualquer cor adequada de tem um clique correspondente em .G G $k$$G$$G'$

Edit : Para adicionar uma breve motivação, os 21 problemas originais de Karp são provados NP-Complete por uma árvore de reduções onde CLIQUE e Número Cromático formam as raízes das principais subárvores. Existem algumas reduções naturais entre os problemas na subárvore CLIQUE e na subárvore Número cromático, mas muitos deles são tão difíceis de encontrar quanto o que estou perguntando. Estou tentando detalhar se a estrutura dessa árvore mostra alguma estrutura subjacente nos outros problemas ou se é inteiramente uma conseqüência da qual as reduções foram encontradas primeiro, pois há menos motivação para procurar reduções entre dois problemas quando elas ocorrem. são conhecidos por estar na mesma classe de complexidade. Certamente a ordem teve alguma influência, e partes da árvore podem ser reorganizadas, mas pode ser reorganizada arbitrariamente?

Edit 2 : Continuo a procurar uma redução direta, mas aqui está um esboço do mais próximo que cheguei (deve ser uma redução válida, mas tem CIRCUIT SAT como um intermediário claro; é um pouco subjetivo se isso é melhor do que compondo duas reduções, conforme mencionado no primeiro parágrafo).

Dado , sabemos que pode ser colorido com com vértices com todas as cores True, se tiver uma -clique. os vértices originais de e adicionamos à vértices adicionais: com , . A chave invariante será que pode ser colorido como True se e somente se entre os vértices houver pelo menos vértices coloridos como True. Portanto, cada pode ser True. Então,¯ G n - k + 1 k G k G v 1 , … , v n ¯ G C i j 1 ≤ i ≤ n 0 ≤ j ≤ k C i j { v 1 , … , v i } j C i 0 C i $G, k$$\overline{G}$$n-k+1$$k$$G$$k$$G$ $v_1, \ldots, v_n$$\overline G$$C_{ij}$$1 \le i \le n$$0 \le j \le k$$C_{ij}$$\{v_1,\ldots, v_i\}$$j$$C_{i0}$$C_{ij}$ para obtém a cor que todas as cores não verdadeiras são tratadas como falsas. Existe uma classe em se puder ser colorido como True, portanto, se forçarmos essa coloração, o novo gráfico será colorível se houver uma classe no gráfico original.C ( i - 1 ) j ∨ $j > 0$ kG C n k$C_{(i-1)j} \vee C_{(i-1)(j-1)} \wedge v_i$$k$$G$$C_{nk}$$k$

Os dispositivos AND e OR para impor os relacionamentos são muito parecidos com a redução de CIRCUIT SAT para 3-COLOR, mas aqui incluímos um em nosso gráfico, escolha os vértices T, F e Ground e, em seguida, conecte todos os outros a tudo, exceto aos s; isso garante que os os outros gadgets recebam apenas três cores. v i C i $K_{n-k+1}$$v_i$$C_{ij}$

De qualquer forma, a parte dessa redução parece direta, mas o uso de portas AND / OR é muito menos direto. A questão permanece: existe uma redução mais elegante?$\overline G$

Edit 3 : Houve alguns comentários sobre por que essa redução seria difícil de encontrar. CLIQUE e k-Color são de fato problemas bem diferentes. Mesmo sem uma redução, porém, uma resposta que detalha por que a redução é difícil em uma direção, mas possível na outra seria muito útil e contribuiria muito para o problema.

Dado um grafo e um número k , tal que você quer saber se G contém um k -clique, vamos n ser o número de vértices em G . Construímos outro gráfico H , de modo que H é n- colorido se e somente se G tiver uma k -ique, da seguinte maneira:$G$$k$$G$$k$$G$$H$$H$$n$$G$$k$

(1) Para cada vértice em G , faça uma n- classe de vértices ( v , i ) em H , onde i varia de 1 a n .$v$$G$$n$$(v,i)$$H$$i$$1$$n$

(2) Adicionar um vértice adicionais para H .$x$$H$

$\{x,y,z\}$$H$$y=(v,i)$$z=(u,j)$$u\ne v$$i=j$$u$$v$$G$n H x ′ y ′ z ′ x y ′ z ′ y x ′ z ′ z x ′ y $\max(i,j)\le k$$n$$H$. Dentro dessa camarilha, selecione três vértices , e . Conecte a todos os vértices na clique, exceto e ; conecte a todos os vértices na clique, exceto e ; e conecte a todos os vértices da clique, exceto e .$x'$$y'$$z'$$x$$y'$$z'$$y$$x'$$z'$$z$$x'$$y'$

Os aparelhos adicionados no passo (3) evitar o triplo de vértices , , e de todos a ser dada a mesma cor que o outro em uma coloração válido de . A camarilha em pode ser recuperada a partir de uma coloração de como o conjunto de vértices que estão na mesma classe de cor que e que possuem .y z H G H ( v , i ) x i ≤ $x$$y$$z$$H$$G$$H$$(v,i)$$x$$i\le k$

?? Sabe-se que a coloração e a descoberta de cliques estão fortemente acopladas há décadas através da teoria dos grafos (possivelmente até nos anos 60?), mesmo que não através do SAT como intermediário (que se tornou típico após a prova de Cook em 1971). Acreditamos que existem algoritmos baseados na seguinte propriedade básica :

Se G contiver um clique do tamanho k, pelo menos k cores serão necessárias para colorir esse clique; em outras palavras, o número cromático é pelo menos o número do clique: $\chi(G) \ge \omega(G).\,$

não tenho certeza das referências exatas, mas [1,2] são bons lugares para começar, um algoritmo exato ou referência é pelo menos provavelmente citado nesses livros.

[1] Cliques, coloração e satisfação, segundo desafio DIMACS

[2] Dimacs vol 26: panelinhas, coloração e satisfação