Qual é o logaritmo ou operação raiz no espaço de texto?

Recentemente, eu estava lendo As duas dualidades da computação: tipos negativo e fracionário . O artigo expande tipos de soma e tipos de produtos, fornecendo semântica para os tipos a - be a/b.

Ao contrário da adição e multiplicação, não há um, mas dois inversos de exponenciação, logaritmos e enraizamento. Se os tipos de função (a → b) são exponenciação da teoria dos tipos, dado o tipo a → b(ou b^a), o que significa ter o tipo logb(c)ou o tipo a√c?

Faz sentido estender logaritmos e raízes a tipos?

Em caso afirmativo, houve algum trabalho nessa área e quais são algumas boas orientações sobre como compreender as repercussões?

Tentei procurar informações sobre isso via lógica, esperando que a correspondência de Curry-Howard pudesse me ajudar, mas sem sucesso.

— efrey
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Respostas:

Um tipo tem um logaritmo de base de de exactamente quando . Isto é, pode ser visto como um recipiente de elementos em posições dadas por . Na verdade, é uma questão de pedir para que poder devemos levantar para obter . $C$ $X$ $P$ $C \cong P\to X$ $C$ $X$ $P$ $P$ $X$ $C$

Faz sentido trabalhar com onde é um functor, sempre que o logaritmo existir, o que significa $\mathop{log}F$ $F$ . Observe que se $\mathop{log}\!_X(F\:X)$ , então nós certamente temos $F\:X\cong \mathop{log}F\to X$ , então o contêiner não nos diz nada de interessante além de seus elementos: os contêineres com uma escolha de formas não possuem logaritmos. $F\:1\cong 1$

Leis familiares de logaritmos fazem sentido quando você pensa em termos de conjuntos de posições

\begin{array}{rcll} l o g (K 1) & = & 0 & no positions in empty container \\ l o g I & = & 1 & container for one, one position \\ l o g (F \times G) & = & l o g F + l o g G & pair of containers, choice of positions \\ l o g (F \cdot G) & = & l o g F \times l o g G & container of containers, pair of positions \end{array}

$\begin{array}{rcl@{\qquad}l} \mathop{log} (\mathop{K}1) &=& 0 & \mbox{no positions in empty container}\\ \mathop{log} I &=& 1 & \mbox{container for one, one position}\\ \mathop{log} (F\times G) &=& \mathop{log}F+\mathop{log}G & \mbox{pair of containers, choice of positions} \\ \mathop{log} (F\cdot G) &=& \mathop{log}F\times\mathop{log}G & \mbox{container of containers, pair of positions} \end{array}$

Também ganhamos onde $\mathop{log}\!_X(\nu Y. T) = \mu Z. \mathop{log}\!_X T$ sob o fichário. Ou seja, ocaminhopara cada elemento em alguns codados é definido indutivamente pela iteração do logaritmo. Por exemplo, $Z=\mathop{log}\!_XY$

l o g S t r e a m = l o g_{X} (ν Y . X \times Y) = μ Z . 1 + Z = N a t

$\mathop{log}\mathop{Stream} = \mathop{log}\!_X(\nu Y. X\times Y) = \mu Z. 1 + Z = \mathop{Nat}$

Dado que a derivada nos diz o tipo em contextos de um buraco e o logaritmo nos indica posições, devemos esperar uma conexão e, de fato,

F 1 ≅ 1 \Rightarrow l o g F ≅ \partial F 1

$F\:1\cong 1 \;\Rightarrow\; \mathop{log}F\cong \partial F\:1$

Onde não há escolha de forma, uma posição é igual a um contexto de um orifício com os elementos apagados. De maneira mais geral, sempre representa a escolha de umaforma junto com uma posição do elemento nessa forma. $\partial F\:1$ $F$

Receio ter menos a dizer sobre raízes, mas é possível partir de uma definição semelhante e seguir o nariz. Para mais usos de logaritmos de tipos, consulte "Funções de memorando de Ralf Hinze, politipicamente!". Tenho que correr ...

— trabalhador de porcos
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A resposta do próprio Da Man. Bem-vindo Conor!

— 27413 Andrej Bauer

Hmm, estou interessado em ver o que são tipos de raiz, pois exigiriam tipos com número imaginário de habitantes. A menos que eu esteja errado. Aceitarei sua resposta, mas se você tiver tempo para elaborar as raízes, isso seria muito apreciado.

— efrey

Isso pode estar relacionado à série Taylor de ln (1 + x) de alguma forma?

— yatima2975

Com logaritmos e exponenciais, eu me pergunto ... o que precisamos para construir um objeto Napier ? (por exemplo, o objecto supostamente original ede modo a que ∂e = e)

— Rhymoid

Não conheço nenhum trabalho que persiga essa linha, mas alguns instantes pensei nela me levou a essa hipótese: a "raiz" do tipo exponencial não seria apenas o codomain e o "logaritmo" da exponencial apenas o domínio?

— Marc Hamann
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Certo, acho que sua intuição é boa, mas sua conclusão está errada. A operação raiz e a operação de logaritmo são o que você obtém quando "inverte" o codomain ou o domínio, respectivamente, não o (co) domínio em si. A questão é: o que entendemos por inverter e qual é a operação do tipo binário que ela produz?

— efrey

x^{y}

$x^y$

y

$y$

x

$x$

x

$x$

y

$y$

Desculpe, não fui totalmente claro em minha terminologia. Não pretendo perguntar "qual é a raiz, qual é o resultado da aplicação da função logaritmo". Eu estou querendo saber o que é a operação de enraizamento. Qual é a operação de encontrar o logaritmo. Se →for expenenciação, o que são dois tipos na operação raiz. O que são dois tipos na operação de logaritmo. O que quero dizer com "inverter o argumento" é algo que não há tempo para explicar aqui. Vou esclarecer minha pergunta, obrigado.

— Efrey # 25/13

O artigo que vinculei fornece uma semântica para o tipo a - be o tipo a / b. Não estou preocupado com o resultado da redução do logaritmo e da raiz das operações, mas em entender sua semântica como operadores do tipo binário.

— Efrey # 25/13