Qual é a diferença entre setas e objetos exponenciais em uma categoria fechada cartesiana?

Em um Categoria cartesiana Closed ( CCC ), existem os chamados objetos exponenciais , escritos . Quando um CCC é considerado como um modelo da simplesmente-digitada λ -calculus , um objecto exponencial como B Uma caracteriza o espaço função do tipo A de tipo B . Um objecto exponencial é introduzido por uma seta chamado c u r r y : ( A x B → C ) → ( A → C $B^A$$\lambda$$B^A$$A$$B$ E eliminado por uma seta chamado um p p l y : C B × B → C (o que infelizmente chamado e v um L na maioria dos textos em teoria categoria). Minhas perguntas aqui são: existe alguma diferença entre o objeto exponencial C B e a seta B → C ?$curry : (A \times B \rightarrow C) \rightarrow (A \rightarrow C^B)$$apply : C^B \times B \rightarrow C$$eval$$C^B$$B \rightarrow C$

Um é interno e o outro é externo .

Uma categoria consiste em objetos e morfismos. Quando escrevemos f : A → B , queremos dizer que f é um morfismo de objeto A para objeto B . Podemos coletar todos os morfismos de A a B em um conjunto de morfismos H o m C ( A , B ) , chamado de "hom-set". Este conjunto não é um objeto de C , mas um objeto da categoria de conjuntos.$\mathcal{C}$$f : A \to B$$f$$A$$B$$A$$B$ $\mathrm{Hom}_{\mathcal{C}}(A,B)$$\mathcal{C}$

Em contraste, um exponencial é um objecto em C . É como " C pensa em seus hom-sets". Assim, B A deve estar equipado com qualquer estrutura que os objetos de C tenham.$B^A$$\mathcal{C}$$\mathcal{C}$$B^A$$\mathcal{C}$

Como exemplo, vamos considerar a categoria de espaços topológicos. Em seguida, é um mapa contínua de X para Y , e H o m o t o p ( X , Y ) é o conjunto de todas essas aplicações contínuas. Mas Y X , se existir, é um espaço topológico! Você pode provar que os pontos de Y X são (em correspondência bijective com) as aplicações contínuas de X para Y . De fato, isso é válido em geral: os morfismos 1 → B $f : X \to Y$$X$$Y$$\mathrm{Hom}_{\mathsf{Top}}(X,Y)$$Y^X$$Y^X$$X$$Y$$1 \to B^A$(que são "os pontos globais de ") estão em correspondência bijective com morphisms Um → B , porque H o m ( 1 , B A ) ≅ H o m ( 1 × A , B ) ≅ H o m ( A , B ) $B^A$$A \to B$

$$\mathrm{Hom}(1, B^A) \cong \mathrm{Hom}(1 \times A, B) \cong \mathrm{Hom}(A, B).$$

Às vezes a gente ficar desleixado sobre a escrita em oposição a A → B . De fato, muitas vezes esses dois são sinônimos, com o entendimento de que f : A → B pode significar "oh, a propósito, aqui eu quis dizer a outra notação, então isso significa que f é um morfismo de A a B ". Por exemplo, quando você anotou o curry do morfismo de curry : ( A × B → C ) → ( A → C B ), você realmente deveria ter escrito curry$B^A$$A \to B$$f : A \to B$$f$$A$$B$

$$\textit{curry}: (A \times B \to C) \to (A \to C^B)$$ Portanto, não podemos culpar ninguém por ficar confuso aqui. O interno → é usado no sentido interno e o externo no externo. $$\textit{curry}: C^{A \times B} \to {(C^B)}^A.$$ $\to$

$\lambda$$t$$B$$t : B$$B$$B$

$$\textit{curry}: (A \times B \to C) \to (A \to C^B)$$ $\lambda$ $$\textit{curry}: ((C^B)^A)^{C^{A \times B}}.$$ $B^A$$A \to B$