(N) DFA com o mesmo estado inicial / de aceitação

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O que se sabe sobre a classe de idiomas reconhecida por autômatos finitos com o mesmo estado inicial e de aceitação? Este é um subconjunto adequado dos idiomas regulares (já que todos os idiomas contêm a string vazia), mas qual é a sua fraqueza? Existe uma caracterização algébrica simples?

O mesmo vale para idiomas reconhecidos por autômatos não determinísticos com o mesmo conjunto de estados inicial e de aceitação.

— Noam Zeilberger
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Supondo que você queira dizer que o estado inicial deve ser o único estado aceitante, autômatos finitos com essa estrutura correspondem a idiomas de expressões regulares da forma

, onde

é alguma expressão regular.

r^{*}

$r^*$

r

$r$

— Huck Bennett

Ah, claro. Obrigado! Se você quiser postar este comentário como resposta, eu o aceitarei e fecharei a pergunta.

— Noam Zeilberger

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Esta questão é resolvida para autômatos determinísticos e para autômatos inequívocos no livro [1]

[1] J. Berstel, D. Perrin, C, Reutenauer, Codes and autômatos, vol. 129 da Enciclopédia de Matemática e suas Aplicações, Cambridge University Press, 2009.

No caso de autômatos determinísticos, a caracterização é dada na Proposição 3.2.5. Lembre-se que um submonoid de é unitária direito se, para todos , implica . $M$ $A^*$ $u, v \in M$ $u, uv \in M$ $v \in M$

Proposição . Seja um subconjunto regular de . As condições seguintes são equivalentes: $L$ $A^*$

é um submonóide unitário direito, $L$

para algum código de prefixo , $L = P^*$ $P$

O autômato mínimo de tem um estado final único, ou seja, o estado inicial. $L$

Existe um autômato determinístico que reconhece tendo o estado inicial como estado final único. $L$

Para autômatos inequívocos, a caracterização segue do Teorema 4.2.2 e pode ser declarada da seguinte maneira:

Proposição . Seja um subconjunto regular de . As condições seguintes são equivalentes: $L$ $A^*$

é um submonóide livre de , $L$ $A^*$

para algum código , $L = C^*$ $C$

Existe um autômato inequívoco que reconhece tendo o estado inicial como estado final único. $L$

Finalmente, para autômatos não determinísticos, a caracterização é simplesmente que é um submonóide de . $L$ $A^*$

— J.-E. PIN
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1

Talvez valha a pena examinar a decomposição monomial de prefixo unitário de Eilenberg de linguagens regulares (racionais em sua terminologia). Não tenho uma cópia do livro comigo, mas está em algum lugar nas seções anteriores de Automata, Languages and Machines, Volume A (1974).

— Gdmclellan

1

@gdmclellan Você está perfeitamente certo. A referência precisa é o cap. IV, Proposição 3.2.

— J.-E.

Nas duas proposições, poderíamos acrescentar que

e

são regulares? Ou seja,

para algum código de prefixo

onde

pode ser escolhido para ser regular?

P

$P$

C

$C$

L = P^{*}

$L = P^*$

P

$P$

P

$P$

— StefanH

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Autômatos finitos nos quais o estado inicial também é o único estado de aceitação têm a forma , onde é uma expressão regular. No entanto, como J.-E. Pin aponta abaixo, o inverso não é verdadeiro: existem idiomas no formato que não são aceitos por um DFA com um estado de aceitação exclusivo. $r^∗$ $r$ $r^*$

Intuitivamente, dada uma sequência de estados modo que ou ou o diagrama de estados subjacente deve ter um ciclo envolvendo . O último caso é capturado algebricamente pela estrela Kleene. $q_0, \ldots, q_n$ $q_0 = q_n$ $n = 0$ $q_0$

— Huck Bennett
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2

Os idiomas aceitos por um autômato no qual o estado inicial também é o único estado de aceitação são certamente da forma

. No entanto, essa condição não caracteriza os idiomas aceitos por esse DFA. Por exemplo, qualquer DFA que aceite o idioma

possui pelo menos 2 estados finais.

r^{*}

$r^*$

(a, a b)^{*}

$(a, ab)^*$

— J.-E.

2

Penso que a caracterização correta é:

é aceito por um DFA mínimo cujo estado inicial é o único estado de aceitação, se e somente se

tiver a forma

onde

é livre de prefixo . Lembro-me de encontrar isso em uma tese de mestrado / doutorado dos anos 70, mas não consigo encontrar a referência. De qualquer forma, não é tão difícil de provar.

L

$L$

L

$L$

α^{*}

$\alpha^*$

α

$\alpha$

— Mikero

@ J.-E.Pin: Sim, obrigado, atualizei minha resposta.

— Huck Bennett

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Uma subclasse importante dessa família é uma subclasse de linguagens reversíveis em 0. Um idioma é 0-reversível se a reversão do DFA mínimo para o idioma também for determinística. A operação de reversão é definida como a troca dos estados inicial e final e a inversão da relação de borda do DFA. Isso significa que um idioma reversível 0 pode ter apenas um estado de aceitação. Sua pergunta está adicionando uma restrição adicional de que esse estado deve ser o estado inicial. Sua restrição não define os idiomas reversíveis em 0 porque o DFA mínimo para esses idiomas pode ter estados iniciais e finais distintos.

A classe das línguas reversíveis é interessante porque foi uma das primeiras famílias de línguas com infinitas seqüências de caracteres que foi aprendida apenas com exemplos positivos. O trabalho de Angluin também fornece uma caracterização algébrica.

Inferência de línguas reversíveis , Dana Angluin, Jornal da ACM, 1982

— Vijay D
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1

Você pode se referir aos autômatos de semi-flores, como o artigo coloca: "Um autômato de semiflores (SFA) é um autômato de acabamento com um estado inicial único que é igual a um estado final único no qual todos os ciclos passam pelo estado final inicial ". Consulte "A DECOMPOSIÇÃO DA HOLONOMIA DOS AUTOMÁTICOS SEMI-FLORES CIRCULARES" - Shubh Narayan Singh, KV Krishna.

— Viresh
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